leetcode53. 最大子序和

leetcode53.题目描述
给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

解题思路：
1.动态规划解法
  分析明白了其实很简单，我们从左到右扫描整个数组，如果加到i位置时候，和小于0了，说明前面0到i，对于后面的数是不是一点没有了呢，我们应该重新开始加，相当于抛弃了一段无用数组，但是我们需要把把0到i里的最大值统计出来，相当于我们在不断丢弃和小与0的连续片段，在扫描这个数组的过程中，我们不断更新最大值，最后的最大值就符合条件。
  用动态规划来总结就是，我们需要可以得到以i位置结束的最大子序列，然后保存所有位置中最大的那个值就可以。位置i的解为f(i),那么怎么得到呢，如果已知f(i-1)和nums[i]就好了，如果f(i-1)小于0说明前面的对自己没有任何帮助，应该抛弃掉，重新开始，就以自己的nums[i]值作为新的值，进行下一步。所以状态转移方程为：
$$f(i)=max(f(i-1)+nums[i],nums[i])$$

代码如下：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        if not nums:
            return 0
        f_pre = 0
        maxsum = nums[0]
        for i in nums:
            f_pre = max(f_pre+i,i)
            maxsum = max(maxsum, f_pre)
        return maxsum

2.滑动窗口解法：
  这个解法我看leetcode还没有看到的，可能不够优雅，哈哈，也是前几天做了这个题，了解滑动窗口算法移步

leetcode3. 无重复字符的最长子串
思路很简单，就是维护一个一个窗口，这个窗口放的值就是当前最大子序列，需要满足什么条件呢，还是和前面一样，如果前面的的数小于0了，我们就把这一段抛弃掉重新维护一个窗口，不断更新最大值。
代码如下：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        l = 0
        r = 1
        lg = len(nums)
        maxsum = nums[0]
        while r<=lg:
            currentsum = sum(nums[l:r])
            if currentsum>0:
                r += 1
            else:
                l = r
                r = l+1
            maxsum = max(maxsum, currentsum)
        return maxsum

  不过时间复杂度有点感人，但是我觉得这个挺好理解的，重要是熟悉下滑动窗口算法

3.分治法
  这个想法也是简单暴力，假设最大子序列不是在左边，就是在右边，或者在中间，我们只用返回左边，右边和中的最大值就可以，而左边和右边的子串的最大值又是原问题的子问题，所以可以用递归来解决，而中间的的最大子串我们可以直接算出来。
代码如下：

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        #如果n长度为1时直接返回既可
        if n == 1:
            return nums[0]
        #递归左半边最大子序和
        mid  = len(nums) // 2
        left_maxsum = self.maxSubArray(nums[0:mid])
        #递归右半边最大子序和
        right_maxsum = self.maxSubArray(nums[mid:])
        #计算中间的最大子序和，从中间开始，先从右到左，计算出左边部分的最大和，然后计算出右边的相加
        maxsum_l = nums[mid-1]
        maxsum_r = nums[mid]
        current = 0
        for i in range(mid - 1, -1, -1):
            current += nums[i]
            maxsum_l = max(current, maxsum_l)
        current = 0
        for i in range(mid, n):
            current += nums[i]
            maxsum_r = max(current, maxsum_r)
        maxsum_mid = maxsum_l+maxsum_r
        #返回三个中的最大值
        return max(left_maxsum,right_maxsum,maxsum_mid)

  时间复杂度也很高，所以本题的最优解还是第一中解法，后面是为了熟悉别的算法,仅供学习！