<think>嗯，用户想要查找动态规划（
DP）的所有类型，并通过C++代码示例进行说明。首先，我需要确定动态规划的主要分类和常见问题类型。动态规划通常可以分为线性
DP、背包问题、区间
DP、树形
DP、状态压缩
DP、数位
DP等。然后，我需要为每个类型找到一个典型的例子，并附上C++代码。
首先，线性
DP，比如最长递增子序列（LIS）。用户提供的引用[1]中已经有LIS的代码，可以直接参考。然后是最长公共子序列（LCS），需要自己写一个例子。接下来是背包问题，包括0-1背包和完全背包，引用中没有直接提到，但用户可能需要这些基础类型。然后，区间
DP，比如矩阵链乘法，需要编写相应的代码。树形
DP，比如二叉树中的最大路径和，可能需要构造一个树的结构。状态压缩
DP，比如旅行商问题，这需要处理状态压缩的技巧。数位
DP，比如统计数字问题，需要处理数位上的动态规划。
接下来，需要确保每个代码示例正确且符合C++语法。例如，LIS的代码已经在引用[1]中提供，可以直接使用。LCS需要两个字符串输入，然后构建二维
DP数组。0-1背包需要处理物品选择和容量限制，引用中没有直接代码，需要自己编写。完全背包则是在0-1背包基础上调整循环顺序。矩阵链乘法的区间
DP需要计算不同分割点的最小值。树形
DP可能需要使用结构体或类来表示树节点。状态压缩
DP需要位运算来处理状态，例如旅行商问题中的城市访问状态。数位
DP则需要处理数字的各个位，通常用于统计满足条件的数字
数量。
还需要检查是否有其他动态规划类型被遗漏，比如编辑距离、打家劫舍问题。引用[3]提到了打家劫舍，可以将其作为线性
DP的一个例子。编辑距离也是一个经典问题，可以作为补充。另外，路径规划中的
DP应用，如引用[2]提到的，可能属于二维
DP中的路径问题，比如网格路径计数。
在组织内容时，需要分门别类，每个类型给出简要说明、状态转移方程和代码示例。同时，要确保代码的正确性，比如变量命名、循环边界等。例如，在打家劫舍问题中，状态转移方程是
dp[i] = max(
dp[i-1],
dp[i-2] + nums[i])，这与引用[3]中的代码一致。
可能还需要考虑用户对动态规划的理解程度，是否需要更详细的解释。但用户主要要求的是类型和代码示例，因此保持说明简洁，重点放在代码和分类上。此外，用户提供的引用中有多个C++示例，可以参考这些代码的结构和风格，确保一致性。
最后，生成相关问题，需要围绕动态规划的类型、应用场景、优化方法等，例如询问不同类型的特点、如何选择
DP类型、空间复杂度优化等。这样可以帮助用户进一步深入学习。</think>### 动态规划（
DP）类型及C++代码示例
#### 一、线性
DP
1. **最长递增子序列 (LIS)**
状态定义：$
dp[i]$ 表示以第$i$个元素结尾的最长递增子序列长度
状态转移方程：
$$
dp[i] = \max(
dp[j] + 1) \quad \text{当} \ nums[i] > nums[j] \ \text{且} \ 0 \leq j < i$$
```cpp
// 引用[1]中的代码示例
#include <vector>
#include <algorithm>
int lengthOfLIS(std::vector<int>& nums) {
std::vector<int>
dp(nums.size(), 1);
int maxLen = 1;
for (int i = 1; i < nums.size(); ++i) {
for (int j = 0; j < i; ++j) {
if (nums[i] > nums[j]) {
dp[i] = std::max(
dp[i],
dp[j] + 1);
}
}
maxLen = std::max(maxLen,
dp[i]);
}
return maxLen;
}
```
2. **最长公共子序列 (LCS)**
状态定义：$
dp[i][j]$ 表示字符串$A$前$i$位和字符串$B$前$j$位的LCS长度
状态转移方程：
$$
dp[i][j] = \begin{cases}
dp[i-1][j-1] + 1 & \text{if } A[i-1] = B[j-1] \\
\max(
dp[i-1][j],
dp[i][j-1]) & \text{otherwise}
\end{cases}$$
```cpp
int lcs(string &A, string &B) {
vector<vector<int>>
dp(A.size()+1, vector<int>(B.size()+1, 0));
for (int i = 1; i <= A.size(); ++i) {
for (int j = 1; j <= B.size(); ++j) {
if (A[i-1] == B[j-1])
dp[i][j] =
dp[i-1][j-1] + 1;
else
dp[i][j] = max(
dp[i-1][j],
dp[i][j-1]);
}
}
return
dp[A.size()][B.size()];
}
```
---
#### 二、背包问题
1. **0-1背包**
状态定义：$
dp[i][w]$ 表示前$i$个物品在容量$w$下的最大价值
状态转移方程：
$$
dp[i][w] = \max(
dp[i-1][w],
dp[i-1][w - weight[i]] + value[i])$$
```cpp
int knapsack(vector<int>& weight, vector<int>& value, int capacity) {
vector<int>
dp(capacity + 1, 0);
for (int i = 0; i < weight.size(); ++i) {
for (int w = capacity; w >= weight[i]; --w) {
dp[w] = max(
dp[w],
dp[w - weight[i]] + value[i]);
}
}
return
dp[capacity];
}
```
2. **完全背包**
状态转移方程：
$$
dp[w] = \max(
dp[w],
dp[w - weight[i]] + value[i])$$
```cpp
int completeKnapsack(vector<int>& weight, vector<int>& value, int capacity) {
vector<int>
dp(capacity + 1, 0);
for (int i = 0; i < weight.size(); ++i) {
for (int w = weight[i]; w <= capacity; ++w) {
dp[w] = max(
dp[w],
dp[w - weight[i]] + value[i]);
}
}
return
dp[capacity];
}
```
---
#### 三、区间
DP（矩阵链乘法）
状态定义：$
dp[i][j]$ 表示计算矩阵链$A_i$到$A_j$的最小乘法次数
状态转移方程：
$$
dp[i][j] = \min_{i \leq k < j}(
dp[i][k] +
dp[k+1][j] + p_{i-1}p_kp_j)$$
```cpp
int matrixChainMultiplication(vector<int>& p) {
int n = p.size() - 1;
vector<vector<int>>
dp(n, vector<int>(n, 0));
for (int len = 2; len <= n; ++len) {
for (int i = 0; i <= n - len; ++i) {
int j = i + len - 1;
dp[i][j] = INT_MAX;
for (int k = i; k < j; ++k) {
dp[i][j] = min(
dp[i][j],
dp[i][k] +
dp[k+1][j] + p[i]*p[k+1]*p[j+1]);
}
}
}
return
dp[0][n-1];
}
```
---
#### 四、树形
DP（二叉树最大路径和）
状态定义：$dfs(node)$ 返回以node为根的子树中单边最大路径和
状态转移方程：
$$maxSum = \max(maxSum, left + right + node.val)$$
```cpp
struct TreeNode {
int val;
TreeNode *left, *right;
};
int maxPathSum(TreeNode* root) {
int maxSum = INT_MIN;
function<int(TreeNode*)> dfs = [&](TreeNode* node) {
if (!node) return 0;
int left = max(dfs(node->left), 0);
int right = max(dfs(node->right), 0);
maxSum = max(maxSum, left + right + node->val);
return max(left, right) + node->val;
};
dfs(root);
return maxSum;
}
```
---
#### 五、状态压缩
DP（旅行商问题）
状态定义：$
dp[mask][i]$ 表示经过城市集合$mask$且最后到达城市$i$的最短路径
```cpp
int tsp(vector<vector<int>>& dist) {
int n = dist.size();
vector<vector<int>>
dp(1 << n, vector<int>(n, INT_MAX));
dp[1][0] = 0; // 初始状态：只访问过城市0
for (int mask = 1; mask < (1 << n); ++mask) {
for (int i = 0; i < n; ++i) {
if (!(mask & (1 << i))) continue;
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (mask & (1 << j)) continue;
int newMask = mask | (1 << j);
dp[newMask][j] = min(
dp[newMask][j],
dp[mask][i] + dist[i][j]);
}
}
}
int ans = INT_MAX;
for (int i = 0; i < n; ++i)
ans = min(ans,
dp[(1 << n) - 1][i] + dist[i][0]);
return ans;
}
```
---
#### 六、数位
DP（统计数字问题）
统计区间$[L, R]$内满足条件的数字个数（例如不含4）
```cpp
int countNumbers(int n) {
string s = to_string(n);
int m = s.length();
vector<vector<int>> memo(m, vector<int>(2, -1));
function<int(int, bool, bool)> dfs = [&](int pos, bool isLimit, bool hasFour) {
if (pos == m) return hasFour ? 0 : 1;
if (!isLimit && memo[pos][hasFour] != -1) return memo[pos][hasFour];
int res = 0;
int up = isLimit ? s[pos] - '0' : 9;
for (int d = 0; d <= up; ++d) {
bool newHasFour = hasFour || (d == 4);
bool newIsLimit = isLimit && (d == up);
res += dfs(pos + 1, newIsLimit, newHasFour);
}
if (!isLimit) memo[pos][hasFour] = res;
return res;
};
return dfs(0, true, false);
}
```
---
相关问题
本文讨论了从OpenGL转换到Direct3D(D3D)过程中遇到的帧率下降问题。通过分析发现，原来引擎中的一些设计，例如频繁的Draw Primitive(dp)调用，在D3D下效率低下。文章指出D3D对Draw调用有更严格的限制，并探讨了可能的优化方向。
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