poj1010的问题分析

本文章的问题描述部分参考了http://blog.youkuaiyun.com/cugbliang/article/details/2742242#reply

问题重述:

       给出n种邮票，每种邮票有自己的面值（面值可能重复）

       指定m种“总面值”，对每种“总面值”，求解满足如下条件的组合以达到该“总面值”

（1）       所用邮票在n种中可以重复选取

（2）       所用邮票张数〈＝4

（3）       尽量多的使用那个不同种类的邮票 Max (Stamp Types)

（4）       若有多种方案满足（3），则选取张数最小的一种方案 Min (Stamp Num)

（5）       若有多种方案满足(3)(4),则选取“最大面额”最高的一种方案。 Max(Heightest Value)

（6）       若有多种方案满足（3）（4）（5） 则输出 “tie”

 

题目分析:

(1)    算法定位:

从题目的条件可知,此题必须遍求所有方案以求解,因此采用搜索的方法是非常合理的,因为题目带由一定的递推性,也可以尝试动态规划的方法.

(2)    问题优化与简化

对于搜索型题目,关键的优化就是减少重复计算,本题可由3方面的简化,避免重复性计算.

(1)    对于面额相等的邮票,可以限制在1~5张,多余的可以不处理,例如这样的输入:

1 1 1 1 1 1 1 1 0     8个1

4 0

可以简化成为:

1 1 1 1 1 0             5个1

4 0

他们的解是相同的

(2)    搜索求解时约定, 后一张邮票面额>=前面张邮票的面额,即如下的6种情况:

1 2 3        2 3 1      3 12       1 3 2      3 2 1      2 1 3

只需搜索判断一种,即 1 2 3 的情况

(3)    对于给定的n种邮票,遍历4张邮票的所有可达“总面额”的解，当m种指定面额给出，只需插标输出即可，不需要重复m次类似的搜索。（因为m次的搜索中，很多是重复计算的）

 

（3）算法介绍

       （1） 搜索方法一： （base on 史诗’s program）

                     主要思路：

                            4重循环，枚举所有可能，依据题目条件保留最优解。

For(i=1;i<=total_stamps;i++)

For(j=i;j<=total_stamps;j++)

For(k=j;k<=total_stamps;k++)

For(l=k;l<=total_stamps;l++)

{

更新最优解

}

 

                     优化：

                            使用优化方案（1）（2）， 修改后可以加上优化方案（3）

                     评价：

                            编程复杂度低，代码少，运行时空效率高，比赛时候推荐使用

                            但是扩展性受限制，若题目给的是任一k张而不是4,则必须大量修改代码

 

       （2） 搜索方法二： （base on hawking’s program）

                     主要思路：

                            递归深度搜索，遍历所有k张邮票的可达面额的解，保留每种面额的最优

                     解，查表输出指定面额的解，并给定k=4,即为题目要求的情况。

              Void Solve(int deep)

              {

                     更新当前方案所达面值的最优解

if (deep>4) return;

                     for(int s=now[deep-1];s<=total_stamp;s++)

                     {

                            now[deep]=s;

                            solve(deep+1);

}

}

                     优化：

                            使用优化方案（1）（2）（3）进行截枝

                     评价：

                            深度搜索的经典模板程序，推荐学习，几乎所有的搜索都可以套用的模板

                            编程复杂度中，运行时空效率高，通用性强一些，但代码可能稍为多一些

 

       （3） 动态规划： (base on my program)

                     主要思路：

                            定义：int anstype[k][i][j] 表示：

                                   用前k种邮票,选i张，达到面额为j，最多用多少种不同的类型邮票。

                            定义：bool tied[k][i][j] ：

k,i,j 定义如上，tied 表示 anstype[k][i][j] 的最优值是否有多种方案.即同时满足题目的条件（3）（4）时是否多种

                     定义：bool anstied[k][i][j] :

由于 tied 限制不够强,必须多一个anstied 表示同时满足条件(3)(4)(5)是否有多种方案

 

                     递推关系：

(1)         

anstype[k][i][j]=Max{anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1}   1<=w<=4, i-w>0, j-w*value[k]>=0

(2)

在anstype 的更新最大值的同时，可以判断，若某个w 使得

anstype[k][i][j]==anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1 则

tied[k][i][j]=ture;

anstype[k][i][j]<anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1 则

tied[k][i][j]=false

(3)

至于anstied 可以这样求得：

anstype[k][i][j]<anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1时

anstied[k][i][j]=tied[k-1][i-w][j-w*value[k]]

anstype[k][i][j]==anstype[k-1][i-w][j-w*value[k]]+1时

       anstied=true;

 

              主要优化：

                     使用优化方案（1）（2）（3）

                     空间优化，由于[k][i][j]只与[k-1][i][j]有关，所以只需2维数据[i][j]就可以了

这是动态规划最常用的空间优化，另外的一些是压缩存储技巧，主要的是用位运算存储，本题没有用上，不过以后有些题目会常用。

              评价：

                     编程复杂度 中，运行时间少，可以承受大规模数据，规模可扩展，

但是空间要求量大，必须使用压缩技巧，这样编程复杂度会增大，推荐研究算法用，比赛不用

 

总结：

       类似本题的问题很多，光stamps问题多年来就一直存在各种变种，sticks问题与本体类似，通用的算法都是搜索，练熟搜索模板是基础，简化问题、掌握剪枝技巧是解题关键。某些特殊问题可以用动态规划，但是并不是所有的都可以，例如sticks我试过是不能用动态规划的，而且比赛时候，思考会浪费时间，所以推荐比赛时用搜索。（不排除某些题目用搜索通过不了的大数据，必须用动态规划解决，所以要估计好时间空间，选用稳妥的算法）