(Relax 数论 1.18)POJ 3372 Candy Distribution(找规律,判断一个数看其是否是2的多少次幂)

本文探讨了一个关于学生分配糖果的问题，通过数学分析确定了在何种条件下每个学生都能获得至少一颗糖果。关键在于判断函数f(x)=x*(x+1)/2%N是否能构成模N的完全剩余系。

题意：老师给N个学生发糖，第x次发糖发给编号为 f(x) 的学生。可以推知：f(x) = x * (x+1) / 2 % N（学生号为 0, 1, 2, 3, ```N-1 ）

现在问你是否每个学生都能得到至少一颗糖。

题解：要使每个学生都至少得到一颗糖，那么f(x) 应该构成模N的完全剩余系。

那么这个问题的反面就是在什么情况下，f(x) 不能构成模N的完全剩余系。

我们知道若存在 x != y, 使得 f(x) = f(y)，那么f(x)边不能构成模N的完全剩余系。

若f(x) = f(y)，推出 x * (x+1) / 2 % N = y * (y+1) / 2 % N, 推出 (x+y+1)(x-y) / 2 = 0 % N

这样可以假设 N^t = (x+y+1)(x-y)/2，于是这个等式成立的条件便是f(x) = f(y)成立的条件。

下面我们具体分析：

首先给出两个显而易见的结论：

(1).任意一个偶数都可以表示成 b * 2^e 的形式（b为奇数）

(2).(x+y+1)与(x-y)中必定一个是偶数一个是奇数

假如 N^t = (x+y+1)(x-y)/2

1.若N是奇数，那么N^t 还是奇数，于是我们一定可以找到适当的x,y,t使得 (x+y+1)(x-y)/2 = N^t，例如令 x = y + 2，得 y + 3 = N^t，

得 y = N^t - 3。所以在这种情况下f(x) = f(y)，不能构成完全剩余系。

2.若N是2的幂，令N=2^e, 那么N^t = 2^(e*t) 为偶数，而(x+y+1)(x-y)/2是奇数，显然不可能存在x,y,t使得 N^t = (x+y+1)(x-y)/2。所以在这种情况下f(x) != f(y) 可以构成完全剩余系。

3.若N是形如 b * 2^e 的偶数，那么 N^t = b^t * 2^(e*t)。

令(x+y+1) = b^t， (x-y)/2 = 2^(e*t)

即(x+y+1) = b^t //一式

(x-y) = 2^(e*t+1) //二式

解一式二式构成的方程组，得到 2x = 2^(e*t+1) + b^t - 1，左右均为偶数，显然x是有解的，那么y也是有解的。所以在这种情况下f(x) = f(y)，不能构成完全剩余系。

注意上面的式子并不是一般的式子，我们只是用它们来判断存在性，由 N^t = (x+y+1)(x-y)/2这一假设引出的，是由结果到原因的推导，并不能随意的求解。例如 2x = 2^(e*t+1) + b^t - 1，假如一边是奇数，一边是偶数，那么x显然是无解的。

/*
 * POJ_3372.cpp
 *
 *  Created on: 2013年11月21日
 *      Author: Administrator
 */

#include <iostream>

using namespace std;

int main(){
	int n;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF){
		if(n&(n-1)){
			printf("NO\n");
		}else{
			printf("YES\n");
		}
	}

	return 0;
}