(多项式运算4.7.6)POJ 2527 Polynomial Remains(多项式除法)

多项式长除法算法

最新推荐文章于 2021-07-07 17:28:20 发布

原创最新推荐文章于 2021-07-07 17:28:20 发布 · 1.9k 阅读

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本文介绍了一种用于计算多项式长除法的算法过程，包括如何通过降幂排列并补零来准备多项式，逐步演示了商和余数的计算步骤。此外，还提供了一个C++实现示例。

例[编辑]

计算

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}.$

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：

$\frac{x^3 - 12x^2 + 0x - 42}{x-3}.$

然后商和余数可以这样计算：

将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x³ ÷ x = x²).

$\begin{matrix}x^2\\\qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\end{matrix}$
将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x² · (x − 3) = x³ − 3x²).

$\begin{matrix}x^2\\\qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\\qquad\;\; x^3 - 3x^2\end{matrix}$
从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。((x³ − 12x²) − (x³ − 3x²) = −12x² + 3x² = −9x²)然后，将分子的下一项“拿下来”。

$\begin{matrix}x^2\\\qquad\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\\qquad\;\; \underline{x^3 - 3x^2}\\\qquad\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\end{matrix}$
把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式）

$\begin{matrix}\; x^2 - 9x\\\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\end{matrix}$
重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

$\begin{matrix}\qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\\qquad\quad x-3\overline{) x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\\;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\\qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123\end{matrix}$

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} = \underbrace{x^2 - 9x - 27}_{q(x)} \underbrace{-\frac{123}{x-3}}_{r(x)/g(x)}$

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。

/*
 * POJ_2527.cpp
 *
 *  Created on: 2013年10月26日
 *      Author: Administrator
 */

#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int maxn = 10010;
int main(){
	int n,k;

	int val[maxn];
	while(scanf("%d%d",&n,&k)!=EOF,n!=-1 || k !=-1){
		int i;
		for(i = 0 ; i <= n ; ++i){
			scanf("%d",&val[i]);
		}

		//进行除法运算
		for(i = n ; i >= k ; --i){
			if(val[i] == 0){
				continue;
			}

			val[i-k] = val[i-k] - val[i];
			val[i] = 0;
		}

		//调整数组长度,即高位的0不用输出
		int t = n;
		while(val[t] == 0 && t > 0){
			--t;
		}

		for(i = 0 ; i < t ; ++i){
			printf("%d ",val[i]);
		}
		printf("%d\n",val[t]);


	}

	return 0;
}