自相关与互相关的理解与物理意义

最新推荐文章于 2025-06-01 13:10:57 发布

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本文介绍了信号处理中的自相关与卷积概念。详细解释了这两种操作的定义及其实现过程，并讨论了从实数域扩展到复数域时的处理方式。通过实例说明了如何计算自相关和卷积。

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1) 首先我们仅考虑实信号。
自相关的直观含义就是：把一个信号平移一段距离，跟原来有多相似。
于是就有了自相关的定义：
$R(\tau) = \int_{-\infty}^\infty x(t) x(t-\tau)\, \text{d}t$
它代表了“移、乘、积”这三步操作。

如果只谈自相关，其实到此就可以结束了。
只不过，在信号处理领域中还有一个叫“卷积”的东西，在别的地方（已知线性时不变系统的冲激响应和输入，求响应）有用。
它跟自相关的定义很相似，包含了“卷、移、乘、积”四步操作：
$(x*y)(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t) y(\tau-t) \, \text{d}t$
左边有时也写作，表示这个函数是由x(t)和y(t)卷积而得的，但它的自变量是 $\tau$ 。

我们发现卷积比自相关多了一步“卷”的操作，为了去掉这个多余的操作，我们先把原信号自己卷一下，就可以抵消掉卷积中的“卷”操作了。这就是自相关与卷积的关系：
$R(\tau) = x(t) * x(-t)$

2) 现在扩展到复数域。
自相关是要刻画一个信号平移后与原始信号的相似性。显然，不平移时应该是最相似的。
我们希望x(t)与x(t)本身相乘后积分时，各时间点的值能够因叠加而增强。
在实数域上x(t)直接自乘没有问题。在复数域上，x(t)自乘后辐角还是乱的。
如果对其中一个x(t)取一下共轭，相乘后辐角就统一变成0了，积分时就能够取得叠加增强的效果。
所以在复数域上，自相关是这样的：
$R(\tau) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \overline{x(t-\tau)} \, \text{d}t$
（共轭取在前者还是后者上都可以，取决于作者的习惯）