数据结构之树（完整版）

一、树结构的基础部分

1、二叉树

1.1、为什么需要树这种数据结构？

1)数组存储方式的分析

优点：通过下标方式访问元素，速度快。对于有序数组，还可使用二分查找提高检索速度。
缺点：如果要检索具体某个值，或者插入值(按一定顺序)会整体移动，效率较低 [示意图]

2)链式存储方式的分析
优点：在一定程度上对数组存储方式有优化(比如：插入一个数值节点，只需要将插入节点，链接到链表中即可， 删除效率也很好)。
缺点：在进行检索时，效率仍然较低，比如(检索某个值，需要从头节点开始遍历) 【示意图】

3)树存储方式的分析
能提高数据存储，读取的效率, 比如利用 二叉排序树(Binary Sort Tree)，既可以保证数据的检索速度，同时也可以保证数据的插入，删除，修改的速度。
案例: [7, 3, 10, 1, 5, 9, 12]

1.2、二叉树的概念

1)树有很多种，每个节点最多只能有两个子节点的一种形式称为二叉树。

2)二叉树的子节点分为左节点和右节点。

3)如果该二叉树的所有 叶子节点都在最后一层，并且结点总数= 2^n -1 , n 为层数，则我们称为满二叉树。

4)如果该二叉树的所有叶子节点都在最后一层或者倒数第二层，而且最后一层的叶子节点在左边连续，倒数第二层的叶子节点在右边连续，我们称为完全二叉树。

1.3、二叉树遍历的说明

前序遍历: 先输出父节点，再遍历左子树和右子树

中序遍历: 先遍历左子树，再输出父节点，再遍历右子树

后序遍历: 先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点

小结: 看输出父节点的顺序，就确定是前序，中序还是后序

package com.atguigu.tree;

public class BinaryTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		//先需要创建一颗二叉树
		BinaryTree binaryTree = new BinaryTree();
		//创建需要的结点
		HeroNode root = new HeroNode(1, "宋江");
		HeroNode node2 = new HeroNode(2, "吴用");
		HeroNode node3 = new HeroNode(3, "卢俊义");
		HeroNode node4 = new HeroNode(4, "林冲");
		HeroNode node5 = new HeroNode(5, "关胜");
		
		//说明，我们先手动创建该二叉树，后面我们学习递归的方式创建二叉树
		root.setLeft(node2);
		root.setRight(node3);
		node3.setRight(node4);
		node3.setLeft(node5);
		binaryTree.setRoot(root);
		
		//测试
//		System.out.println("前序遍历"); // 1,2,3,5,4
//		binaryTree.preOrder();
		
		//测试 
//		System.out.println("中序遍历");
//		binaryTree.infixOrder(); // 2,1,5,3,4
//		
//		System.out.println("后序遍历");
//		binaryTree.postOrder(); // 2,5,4,3,1
		
		//前序遍历
		//前序遍历的次数 ：4 
//		System.out.println("前序遍历方式~~~");
//		HeroNode resNode = binaryTree.preOrderSearch(5);
//		if (resNode != null) {
//			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
//		} else {
//			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
//		}
		
		//中序遍历查找
		//中序遍历3次
//		System.out.println("中序遍历方式~~~");
//		HeroNode resNode = binaryTree.infixOrderSearch(5);
//		if (resNode != null) {
//			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
//		} else {
//			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
//		}
		
		//后序遍历查找
		//后序遍历查找的次数  2次
//		System.out.println("后序遍历方式~~~");
//		HeroNode resNode = binaryTree.postOrderSearch(5);
//		if (resNode != null) {
//			System.out.printf("找到了，信息为 no=%d name=%s", resNode.getNo(), resNode.getName());
//		} else {
//			System.out.printf("没有找到 no = %d 的英雄", 5);
//		}
		
		//测试一把删除结点
		
		System.out.println("删除前,前序遍历");
		binaryTree.preOrder(); //  1,2,3,5,4
		binaryTree.delNode(5);
		//binaryTree.delNode(3);
		System.out.println("删除后，前序遍历");
		binaryTree.preOrder(); // 1,2,3,4
		
		
		
	}

}

//定义BinaryTree 二叉树
class BinaryTree {
	private HeroNode root;

	public void setRoot(HeroNode root) {
		this.root = root;
	}
	
	//删除结点
	public void delNode(int no) {
		if(root != null) {
			//如果只有一个root结点, 这里立即判断root是不是就是要删除结点
			if(root.getNo() == no) {
				root = null;
			} else {
				//递归删除
				root.delNode(no);
			}
		}else{
			System.out.println("空树，不能删除~");
		}
	}
	//前序遍历
	public void preOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.preOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.infixOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
	//后序遍历
	public void postOrder() {
		if(this.root != null) {
			this.root.postOrder();
		}else {
			System.out.println("二叉树为空，无法遍历");
		}
	}
	
	//前序遍历
	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
		if(root != null) {
			return root.preOrderSearch(no);
		} else {
			return null;
		}
	}
	//中序遍历
	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
		if(root != null) {
			return root.infixOrderSearch(no);
		}else {
			return null;
		}
	}
	//后序遍历
	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
		if(root != null) {
			return this.root.postOrderSearch(no);
		}else {
			return null;
		}
	}
}

//先创建HeroNode 结点
class HeroNode {
	private int no;
	private String name;
	private HeroNode left; //默认null
	private HeroNode right; //默认null
	public HeroNode(int no, String name) {
		this.no = no;
		this.name = name;
	}
	public int getNo() {
		return no;
	}
	public void setNo(int no) {
		this.no = no;
	}
	public String getName() {
		return name;
	}
	public void setName(String name) {
		this.name = name;
	}
	public HeroNode getLeft() {
		return left;
	}
	public void setLeft(HeroNode left) {
		this.left = left;
	}
	public HeroNode getRight() {
		return right;
	}
	public void setRight(HeroNode right) {
		this.right = right;
	}
	@Override
	public String toString() {
		return "HeroNode [no=" + no + ", name=" + name + "]";
	}
	
	//递归删除结点
	//1.如果删除的节点是叶子节点，则删除该节点
	//2.如果删除的节点是非叶子节点，则删除该子树
	public void delNode(int no) {
		
		//思路
		/*
		 * 	1. 因为我们的二叉树是单向的，所以我们是判断当前结点的子结点是否需要删除结点，而不能去判断当前这个结点是不是需要删除结点.
			2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
			3. 如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
			4. 如果第2和第3步没有删除结点，那么我们就需要向左子树进行递归删除
			5.  如果第4步也没有删除结点，则应当向右子树进行递归删除.

		 */
		//2. 如果当前结点的左子结点不为空，并且左子结点 就是要删除结点，就将this.left = null; 并且就返回(结束递归删除)
		if(this.left != null && this.left.no == no) {
			this.left = null;
			return;
		}
		//3.如果当前结点的右子结点不为空，并且右子结点 就是要删除结点，就将this.right= null ;并且就返回(结束递归删除)
		if(this.right != null && this.right.no == no) {
			this.right = null;
			return;
		}
		//4.我们就需要向左子树进行递归删除
		if(this.left != null) {
			this.left.delNode(no);
		}
		//5.则应当向右子树进行递归删除
		if(this.right != null) {
			this.right.delNode(no);
		}
	}
	
	//编写前序遍历的方法
	public void preOrder() {
		System.out.println(this); //先输出父结点
		//递归向左子树前序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.preOrder();
		}
		//递归向右子树前序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.preOrder();
		}
	}
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		
		//递归向左子树中序遍历
		if(this.left != null) {
			this.left.infixOrder();
		}
		//输出父结点
		System.out.println(this);
		//递归向右子树中序遍历
		if(this.right != null) {
			this.right.infixOrder();
		}
	}
	//后序遍历
	public void postOrder() {
		if(this.left != null) {
			this.left.postOrder();
		}
		if(this.right != null) {
			this.right.postOrder();
		}
		System.out.println(this);
	}
	
	//前序遍历查找
	/**
	 * 
	 * @param no 查找no
	 * @return 如果找到就返回该Node ,如果没有找到返回 null
	 */
	public HeroNode preOrderSearch(int no) {
		System.out.println("进入前序遍历");
		//比较当前结点是不是
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		//1.则判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归前序查找
		//2.如果左递归前序查找，找到结点，则返回
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.preOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {//说明我们左子树找到
			return resNode;
		}
		//1.左递归前序查找，找到结点，则返回，否继续判断，
		//2.当前的结点的右子节点是否为空，如果不空，则继续向右递归前序查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.preOrderSearch(no);
		}
		return resNode;
	}
	
	//中序遍历查找
	public HeroNode infixOrderSearch(int no) {
		//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归中序查找
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.infixOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {
			return resNode;
		}
		System.out.println("进入中序查找");
		//如果找到，则返回，如果没有找到，就和当前结点比较，如果是则返回当前结点
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		//否则继续进行右递归的中序查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.infixOrderSearch(no);
		}
		return resNode;
		
	}
	
	//后序遍历查找
	public HeroNode postOrderSearch(int no) {
		
		//判断当前结点的左子节点是否为空，如果不为空，则递归后序查找
		HeroNode resNode = null;
		if(this.left != null) {
			resNode = this.left.postOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {//说明在左子树找到
			return resNode;
		}
		
		//如果左子树没有找到，则向右子树递归进行后序遍历查找
		if(this.right != null) {
			resNode = this.right.postOrderSearch(no);
		}
		if(resNode != null) {
			return resNode;
		}
		System.out.println("进入后序查找");
		//如果左右子树都没有找到，就比较当前结点是不是
		if(this.no == no) {
			return this;
		}
		return resNode;
	}
	
}

//

2、顺序存储二叉树

2.1、基本说明

从数据存储来看，数组存储方式和树的存储方式可以相互转换，即数组可以转换成树，树也可以转换成数组，

要求:

1)右图的二叉树的结点，要求以数组
的方式来存放 arr : [1, 2, 3, 4, 5, 6, 6]

2)要求在遍历数组 arr时，仍然可以以
前序遍历，中序遍历和后序遍历的
方式完成结点的遍历

2.2、顺序存储二叉树的概念

2.3、顺序存储二叉树应用实例

八大排序算法中的堆排序，就会使用到顺序存储二叉树， 关于堆排序，我们放在<<树结构实际应用>> 章节讲解。

二、树结构实际应用

1、堆排序

1.1、堆排序基本介绍

1)堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种**选择排序，**它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlogn)，它也是不稳定排序。

2)堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆, 注****意 : 没有要求结点的左孩子的值和右孩子的值的大小关系。

3)每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆

4)大顶堆举例说明

5)小顶堆举例说明

1.2、堆排序基本思想

堆排序的基本思想是：

1)将待排序序列构造成一个大顶堆

2)此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。

3)将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。

4)然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

可以看到在构建大顶堆的过程中，元素的个数逐渐减少，最后就得到一个有序序列了.

2、赫夫曼树

2.1、基本介绍

1)给定n个权值作为n个叶子结点，构造一棵二叉树，若该树的带权路径长度(wpl)达到最小，称这样的二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman Tree), 还有的书翻译为霍夫曼树。

2)赫夫曼树是带权路径长度最短的树，权值较大的结点离根较近。

2.2、赫夫曼树几个重要概念和举例说明

1)路径和路径长度：在一棵树中，从一个结点往下可以达到的孩子或孙子结点之间的通路，称为路径。通路中分支的数目称为路径长度。若规定根结点的层数为1，则从根结点到第L层结点的路径长度为L-1

2)结点的权及带权路径长度：**若将树中结点赋给一个有着某种含义的数值，则这个数值称为该结点的权。**结点的带权路径长度为：从根结点到该结点之间的路径长度与该结点的权的乘积

3)树的带权路径长度：树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长度之和，记为WPL(weighted path length) ,权值越大的结点离根结点越近的二叉树才是最优二叉树。

4)WPL最小的就是赫夫曼树

3、二叉排序树（BST）

3.1、先看一个需求

给你一个数列 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9)，要求能够高效的完成对数据的查询和添加。

3.2、解决方案分析

• 使用数组

  1）数组未排序， 优点：直接在数组尾添加，速度快。 缺点：查找速度慢. [示意图]

  2）数组排序，优点：可以使用二分查找，查找速度快，缺点：为了保证数组有序，在添加新数据时，找到插入位置后，后面的数据需整体移动，速度慢。

• 使用链式存储-链表
  不管链表是否有序，查找速度都慢，添加数据速度比数组快，不需要数据整体移动。

• 使用二叉排序树

3.3、二叉排序树介绍

二叉排序树：BST: (Binary Sort(Search) Tree), 对于二叉排序树的任何一个非叶子节点，要求左子节点的值比当前节点的值小，右子节点的值比当前节点的值大。

特别说明：如果有相同的值，可以将该节点放在左子节点或右子节点

比如针对前面的数据 (7, 3, 10, 12, 5, 1, 9) ，对应的二叉排序树为：

二叉排序树中序遍历可以得到有序的数组

public class BinarySortTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		int[] arr = {7, 3, 10, 12, 5, 1, 9, 2};
		BinarySortTree binarySortTree = new BinarySortTree();
		//循环的添加结点到二叉排序树
		for(int i = 0; i< arr.length; i++) {
			binarySortTree.add(new Node(arr[i]));
		}
		
		//中序遍历二叉排序树
		System.out.println("中序遍历二叉排序树~");
		binarySortTree.infixOrder(); // 1, 3, 5, 7, 9, 10, 12
		
		//测试一下删除叶子结点
	    
	   
	    binarySortTree.delNode(12);
	   
	 
	    binarySortTree.delNode(5);
	    binarySortTree.delNode(10);
	    binarySortTree.delNode(2);
	    binarySortTree.delNode(3);
		   
	    binarySortTree.delNode(9);
	    binarySortTree.delNode(1);
	    binarySortTree.delNode(7);
	    
		
		System.out.println("root=" + binarySortTree.getRoot());
		
		
		System.out.println("删除结点后");
		binarySortTree.infixOrder();
	}

}

//创建二叉排序树
class BinarySortTree {
	private Node root;
	public Node getRoot() {
		return root;
	}

	//查找要删除的结点
	public Node search(int value) {
		if(root == null) {
			return null;
		} else {
			return root.search(value);
		}
	}
	
	//查找父结点
	public Node searchParent(int value) {
		if(root == null) {
			return null;
		} else {
			return root.searchParent(value);
		}
	}
	
	//编写方法: 
	//1. 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
	//2. 删除node 为根结点的二叉排序树的最小结点
	/**
	 * 
	 * @param node 传入的结点(当做二叉排序树的根结点)
	 * @return 返回的 以node 为根结点的二叉排序树的最小结点的值
	 */
	public int delRightTreeMin(Node node) {
		Node target = node;
		//循环的查找左子节点，就会找到最小值
		while(target.left != null) {
			target = target.left;
		}
		//这时 target就指向了最小结点
		//删除最小结点
		delNode(target.value);
		return target.value;
	}
	
	
	//删除结点
	public void delNode(int value) {
		if(root == null) {
			return;
		}else {
			//1.需求先去找到要删除的结点  targetNode
			Node targetNode = search(value);
			//如果没有找到要删除的结点
			if(targetNode == null) {
				return;
			}
			//如果我们发现当前这颗二叉排序树只有一个结点
			if(root.left == null && root.right == null) {
				root = null;
				return;
			}
			
			//去找到targetNode的父结点
			Node parent = searchParent(value);
			//如果要删除的结点是叶子结点
			if(targetNode.left == null && targetNode.right == null) {
				//判断targetNode 是父结点的左子结点，还是右子结点
				if(parent.left != null && parent.left.value == value) { //是左子结点
					parent.left = null;
				} else if (parent.right != null && parent.right.value == value) {//是由子结点
					parent.right = null;
				}
			} else if (targetNode.left != null && targetNode.right != null) { //删除有两颗子树的节点
				int minVal = delRightTreeMin(targetNode.right);
				targetNode.value = minVal;
				
				
			} else { // 删除只有一颗子树的结点
				//如果要删除的结点有左子结点 
				if(targetNode.left != null) {
					if(parent != null) {
						//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
						if(parent.left.value == value) {
							parent.left = targetNode.left;
						} else { //  targetNode 是 parent 的右子结点
							parent.right = targetNode.left;
						} 
					} else {
						root = targetNode.left;
					}
				} else { //如果要删除的结点有右子结点 
					if(parent != null) {
						//如果 targetNode 是 parent 的左子结点
						if(parent.left.value == value) {
							parent.left = targetNode.right;
						} else { //如果 targetNode 是 parent 的右子结点
							parent.right = targetNode.right;
						}
					} else {
						root = targetNode.right;
					}
				}
				
			}
			
		}
	}
	
	//添加结点的方法
	public void add(Node node) {
		if(root == null) {
			root = node;//如果root为空则直接让root指向node
		} else {
			root.add(node);
		}
	}
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		if(root != null) {
			root.infixOrder();
		} else {
			System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
		}
	}
}

//创建Node结点
class Node {
	int value;
	Node left;
	Node right;
	public Node(int value) {
		
		this.value = value;
	}
	
	
	//查找要删除的结点
	/**
	 * 
	 * @param value 希望删除的结点的值
	 * @return 如果找到返回该结点，否则返回null
	 */
	public Node search(int value) {
		if(value == this.value) { //找到就是该结点
			return this;
		} else if(value < this.value) {//如果查找的值小于当前结点，向左子树递归查找
			//如果左子结点为空
			if(this.left  == null) {
				return null;
			}
			return this.left.search(value);
		} else { //如果查找的值不小于当前结点，向右子树递归查找
			if(this.right == null) {
				return null;
			}
			return this.right.search(value);
		}
		
	}
	//查找要删除结点的父结点
	/**
	 * 
	 * @param value 要找到的结点的值
	 * @return 返回的是要删除的结点的父结点，如果没有就返回null
	 */
	public Node searchParent(int value) {
		//如果当前结点就是要删除的结点的父结点，就返回
		if((this.left != null && this.left.value == value) || 
				(this.right != null && this.right.value == value)) {
			return this;
		} else {
			//如果查找的值小于当前结点的值, 并且当前结点的左子结点不为空
			if(value < this.value && this.left != null) {
				return this.left.searchParent(value); //向左子树递归查找
			} else if (value >= this.value && this.right != null) {
				return this.right.searchParent(value); //向右子树递归查找
			} else {
				return null; // 没有找到父结点
			}
		}
		
	}
	
	@Override
	public String toString() {
		return "Node [value=" + value + "]";
	}


	//添加结点的方法
	//递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
	public void add(Node node) {
		if(node == null) {
			return;
		}
		
		//判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
		if(node.value < this.value) {
			//如果当前结点左子结点为null
			if(this.left == null) {
				this.left = node;
			} else {
				//递归的向左子树添加
				this.left.add(node);
			}
		} else { //添加的结点的值大于 当前结点的值
			if(this.right == null) {
				this.right = node;
			} else {
				//递归的向右子树添加
				this.right.add(node);
			}
			
		}
	}
	
	//中序遍历
	public void infixOrder() {
		if(this.left != null) {
			this.left.infixOrder();
		}
		System.out.println(this);
		if(this.right != null) {
			this.right.infixOrder();
		}
	}
	
}

4、平衡二叉树（AVL树）

4.1、看一个案例(说明二叉排序树可能的问题)

4.2、基本介绍

4.3、应用案例-单旋转（左旋转）

4.4、应用案例-单旋转（右旋转）

4.5、应用案例-双旋转

public class AVLTreeDemo {

	public static void main(String[] args) {
		//int[] arr = {4,3,6,5,7,8};// 测试左旋转
		//int[] arr = { 10, 12, 8, 9, 7, 6 };// 测试右旋转
		int[] arr = { 10, 11, 7, 6, 8, 9 };  // 左旋转和右旋转都搞不定，测试双旋转
		//创建一个 AVLTree对象
		AVLTree avlTree = new AVLTree();
		//添加结点
		for(int i=0; i < arr.length; i++) {
			avlTree.add(new Node(arr[i]));
		}
		
		//遍历
		System.out.println("中序遍历");
		avlTree.infixOrder();
		
		System.out.println("在平衡处理~~");
		System.out.println("树的高度=" + avlTree.getRoot().height()); //3
		System.out.println("树的左子树高度=" + avlTree.getRoot().leftHeight()); // 2
		System.out.println("树的右子树高度=" + avlTree.getRoot().rightHeight()); // 2
		System.out.println("当前的根结点=" + avlTree.getRoot());//8
		
		
	}

}

// 创建AVLTree
class AVLTree {
	private Node root;

	public Node getRoot() {
		return root;
	}

	// 添加结点的方法
	public void add(Node node) {
		if (root == null) {
			root = node;// 如果root为空则直接让root指向node
		} else {
			root.add(node);
		}
	}

	// 中序遍历
	public void infixOrder() {
		if (root != null) {
			root.infixOrder();
		} else {
			System.out.println("二叉排序树为空，不能遍历");
		}
	}
}

// 创建Node结点
class Node {
	int value;
	Node left;
	Node right;

	public Node(int value) {

		this.value = value;
	}

	// 返回左子树的高度
	public int leftHeight() {
		if (left == null) {
			return 0;
		}
		return left.height();
	}

	// 返回右子树的高度
	public int rightHeight() {
		if (right == null) {
			return 0;
		}
		return right.height();
	}

	// 返回 以该结点为根结点的树的高度
	public int height() {
		return Math.max(left == null ? 0 : left.height(), right == null ? 0 : right.height()) + 1;
	}
	
	//左旋转方法
	private void leftRotate() {
		
		//创建新的结点，以当前根结点的值
		Node newNode = new Node(value);
		//把新的结点的左子树设置成当前结点的左子树
		newNode.left = left;
		//把新的结点的右子树设置成带你过去结点的右子树的左子树
		newNode.right = right.left;
		//把当前结点的值替换成右子结点的值
		value = right.value;
		//把当前结点的右子树设置成当前结点右子树的右子树
		right = right.right;
		//把当前结点的左子树(左子结点)设置成新的结点
		left = newNode;
		
		
	}
	
	//右旋转
	private void rightRotate() {
		Node newNode = new Node(value);
		newNode.right = right;
		newNode.left = left.right;
		value = left.value;
		left = left.left;
		right = newNode;
	}


	@Override
	public String toString() {
		return "Node [value=" + value + "]";
	}

	// 添加结点的方法
	// 递归的形式添加结点，注意需要满足二叉排序树的要求
	public void add(Node node) {
		if (node == null) {
			return;
		}

		// 判断传入的结点的值，和当前子树的根结点的值关系
		if (node.value < this.value) {
			// 如果当前结点左子结点为null
			if (this.left == null) {
				this.left = node;
			} else {
				// 递归的向左子树添加
				this.left.add(node);
			}
		} else { // 添加的结点的值大于 当前结点的值
			if (this.right == null) {
				this.right = node;
			} else {
				// 递归的向右子树添加
				this.right.add(node);
			}

		}
		
		//当添加完一个结点后，如果: (右子树的高度-左子树的高度) > 1 , 左旋转
		if(rightHeight() - leftHeight() > 1) {
			//如果它的右子树的左子树的高度大于它的右子树的右子树的高度
			if(right != null && right.leftHeight() > right.rightHeight()) {
				//先对右子结点进行右旋转
				right.rightRotate();
				//然后在对当前结点进行左旋转
				leftRotate(); //左旋转..
			} else {
				//直接进行左旋转即可
				leftRotate();
			}
			return ; //必须要!!!
		}
		
		//当添加完一个结点后，如果 (左子树的高度 - 右子树的高度) > 1, 右旋转
		if(leftHeight() - rightHeight() > 1) {
			//如果它的左子树的右子树高度大于它的左子树的高度
			if(left != null && left.rightHeight() > left.leftHeight()) {
				//先对当前结点的左结点(左子树)->左旋转
				left.leftRotate();
				//再对当前结点进行右旋转
				rightRotate();
			} else {
				//直接进行右旋转即可
				rightRotate();
			}
		}
	}

	// 中序遍历
	public void infixOrder() {
		if (this.left != null) {
			this.left.infixOrder();
		}
		System.out.println(this);
		if (this.right != null) {
			this.right.infixOrder();
		}
	}

}

4.6、总结

平衡二叉树是对二叉排序树做了一个优化。本质上也是二叉排序树，通过中序遍历可以得到排序的数列。同时左旋转的情况是，根节点的左子节点的高度比右子节点高度>1； 右旋转的情况是，根节点的右子节点的高度比左子节点高度>1;这样子就需要向高度高的那边进行一个旋转。

但是！在旋转之前，要先确认以左子节点为根节点是否，存在右子树高度比左子树高度高，存在的话，需要先左转，然后就会变成root节点左边很高，这样子root再做右旋转。

反之亦然！！！

三、多路查找树

1、二叉树和B树

1.1、二叉树的问题分析

1.2、多叉树

1.3、B树的基本介绍

2、2-3树（最简单的B树）

2.1、2-3树基本介绍

2.2、2-3树应用案例

2.3、其他说明

3、B树、B+树和B*树

3.1、B树的介绍

B-tree树即B树，B即Balanced，平衡的意思。有人把B-tree翻译成B-树，容易让人产生误解。会以为B-树是一种树，而B树又是另一种树。实际上，B-tree、B-就是指的B树。

前面已经介绍了2-3树和2-3-4树，他们就是B树(英语：B-tree 也写成B-树)，这里我们再做一个说明，我们在学习Mysql时，经常听到说某种类型的索引是基于B树或者B+树的，如图:

B树的说明:

1)B树的阶：节点的最多子节点个数。比如2-3树的阶是3，2-3-4树的阶是4

2)B-树的搜索，从根结点开始，对结点内的关键字（有序）序列进行二分查找，如果命中则结束，否则进入查询关键字所属范围的儿子结点；重复，直到所对应的儿子指针为空，或已经是叶子结点

3)关键字集合分布在整颗树中, 即叶子节点和非叶子节点都存放数据.

4)搜索有可能在非叶子结点结束

5)其搜索性能等价于在关键字全集内做一次二分查找

3.2、B+树的介绍

B+树是B树的变体，也是一种多路搜索树。

B+树的说明:

1)B+树的搜索与B树也基本相同，区别是B+树只有达到叶子结点才命中（B树可以在非叶子结点命中），其性能也等价于在关键字全集做一次二分查找

2)所有关键字都出现在叶子结点的链表中（即数据只能在叶子节点【也叫稠密索引】），且链表中的关键字(数据)恰好是有序的。

3)不可能在非叶子结点命中

4)非叶子结点相当于是叶子结点的索引（稀疏索引），叶子结点相当于是存储（关键字）数据的数据层

5)更适合文件索引系统

6)B树和B+树各有自己的应用场景，不能说B+树完全比B树好，反之亦然.

3.3、B*树的介绍

B*树是B+树的变体，在B+树的非根和非叶子结点再增加指向兄弟的指针。

B*树的说明:

1)B*树定义了非叶子结点关键字个数至少为(2/3)*M，即块的最低使用率为2/3，而B+树的块的最低使用率为B+树的1/2。

2)从第1个特点我们可以看出，B*树分配新结点的概率比B+树要低，空间使用率更高。