路和回路

1.路与通路

①给定图G=<V,E>中结点和边相继交错出现的序列Γ=v0e1v1e2v2…ekvk。
若Γ中边ei的两端点是vi-1和vi（G是有向图时要求vi-1与vi分别是ei的始点和终点），i=1,2,…,k，则称Γ为结点v0到结点vk的路。
v0和vk分别称为此路的始点和终点。路中边的数目k称为路的长度。
当v0=vK时，这条路称为回路。
②若路中的所有边互不相同，则称为迹；
若回路中的所有边互不相同，则称此回路为闭迹。
③若路中的所有结点互不相同，则称此路为通路；
若回路中除v0=vk外的所有结点互不相同，则称此回路为圈 。

2.连通与可达

在图G = <V, E>中，vi, vj∈V。
①如果从vi到vj存在路，则称vi到vj是可达的，否则称vi到vj不可达。规定：任何结点到自己都是可达的。
②如果vi到vj可达，则称从vi到vj长度最短的路的长度为从vi到vj的距离，记为d(vi, vj)。如果vi到vj不可达，则通常记为d(vi, vj) = ∞。
对于无向图，一定有若vi到vj可达，则vj到vi可达；也有d(vi, vj) = d(vj, vi)。
对于有向图，vi到vj可达，不一定有vj到vi可达；也不一定有d(vi, vj) = d(vj, vi)。

3.无向图的连通性

①若无向图G中的任何两个结点都是可达的，则称G是连通图，否则称G是非连通图。
通俗的讲：图G的一个连通分支是图G的一个极大连通子图，一个图被分成几个小块,每个小块是连通的,但小块之间不连通,那么每个小块称为连通分支。一个孤立点也是一个连通分支
连通分支数用W(G)表示。
②设无向图G=<V,E>为连通的，若有结点集V1 V，使得图G删除了V1所有结点后，所得的子图是不连通的，而删除了V1的任意真子集后，所得的子图仍然是连通图。则称集合V1为图G 的点割集。若某一结点就构成点割集，则称该结点为割点。
③设无向图 G=<V,E>为连通的，若有边集E1 E，使得图G 删除了E1所有边后，所得的子图是不连通的，而删除了E1的任意真子集后，所得的子图仍然是连通图。则称集合E1为图G的边割集。若某一边构成边割集，则称该边为割边(或桥)。
④若G不是完全图，定义G的点连通度(或连通度)为：
k(G)=min{|V1| V1是G的点割集} 。
注：一个不连通图的点连通度等于0，
存在割点的连通图的点连通度为1。

类似地，定义非平凡图G的边连通度为：
      λ(G)=min{|E1|E1是G的边割集} 

4.有向图的连通性

设G = <V, E>是一个有向图，
①略去G中所有有向边的方向得无向图G’，如果无向图G’是连通图，则称有向图G是连通图或称为弱连通图。否则称G是非连通图；
②若G中任何一对结点之间至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称G是单向连通图；
③若G中任何一对结点之间都是相互可达的，则称G是强连通图。
若有向图G是强连通图，则它必是单向连通图；若有向图G是单向连通图，则它必是（弱）连通图。但是上述二命题的逆均不成立。
定理：有向图G是强连通图的充分必要条件是G中存在一条经过所有结点的回路。
定理：在有向图G=<V,E>中,它的每个结点位于且仅位于一个强分图中.
在有向图G = <V, E>中，设G’是G的子图，如果
G’是最大强连通的子图；
那么称G’为G的强连通分支，或称为强分图。
在有向图G = <V, E>中，设G’是G的子图，如果
G’是最大单向连通的子图；
那么称G’为G的单向连通分支,或称为单向分图。
在有向图G = <V, E>中，设G’是G的子图，如果
G’是最大弱连通的子图；
那么称G’为G的弱连通分支，或称为弱分图。