牛顿迭代法求平方根

最新推荐文章于 2022-01-27 23:34:14 发布

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#c++ #牛顿迭代 #编程 #算法 #迭代

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本文介绍了牛顿迭代法求平方根的过程，并通过求根号3为例展示迭代细节。文章分析了迭代法的原理，讨论了如何判断猜测值的合理性，并提供了C++代码实现。此外，作者还分享了对面向对象编程和面向过程编程的思考，认为两者并非绝对对立，而应该看到它们之间的交互和统一。

直接进入主题，打开计算器平方根到底是怎么计算的，一直是我心里的一个疑问，从上初中学了根号以后，老师就让我背根号2等于1.41，根号三是1.732，其他的不用记，题目出现会在后面告诉你。那么这些数字到底是怎么来的呢？首先来看一下牛顿迭代法求平方根的过程。

如图，是求根号3的牛顿迭代法过程。这里使用的初始迭代值（也就是猜测值）为1，其实可以为任何值最终都能得到结果。来说一下迭代法的过程，每次开始，先检测猜测值是否合理，不合理时，用上面的平均值来换掉猜测值，依次继续迭代，直到猜测值合理。

再来分析一下这个迭代法的原理。现在取一个猜测值 a, 如果猜测值合理的话，那么就有a^2=x，即x/a=a ,x为被开方数。不合理的话呢，就用表中的猜测值和商的平均值来换掉猜测值。当不合理时，比如 a>真实值，那么x/a<真实值，这时候取a 与 x/a 的平均值来代替a的话，那么新的a就会比原来的a要更接近真实值。同理有 a<真实值的情况。于是，这样不断迭代下去最终是一个a不断收敛到真实值的一个过程。于是不断迭代就能得到真实值，证明了迭代法是正确的。

那么，最终我们需要一个检验猜测值是否正确，只需要 |a^2-x|<ε即可。在我下面的程序里面，对这个检验做了一些改进，因为若是开方数是一个特别小的值，比如纳米级的单位，那么这种检验很明显不再适用。于是，我做了归一化处理，用之前的猜测值a1与之后的猜测值a2做差再比上之前的猜测值<ε。这样便消弱了量纲带来的影响。

下面是我的c++程序:

#include <iostream>

using std::cout;

using std::endl;

 

 

double improve(double guess, double  x)

{

      return (guess + (x / guess)) / 2;

}

 

bool IsOK(double guess, double guess2)

{

      if (abs(guess - guess2)/guess2 <0.001)

           return true;

      else

           return false;

}

 

double MySqrt2(double guess, double x)

{

      if (IsOK(guess,improve(guess, x) ) )          //检测猜测值是否足够

           return guess;

      else

           return MySqrt2(improve(guess, x), x);      //否则继续迭代

}

 

double MySqrt(double x)

{

      returnMySqrt2(1, x);

}

 

int main()

{

      int a=3;

      cout <<MySqrt(a) << endl;

      system("pause()");

      return 0;

}

其实说到这里，我还有些话想说。关于这个程序朋友也编了一个

double MySqrt3(double x, double y1 )
{
//y1 is start point;
double y2 = y1;///y2 is next point;
do
{
if (abs(y1)<1e-6)
{
printf("y1 is 0");
return 0;
}
y1 = y2;
y2 = (y1 + x / y1) / 2;
printf("y1:%f,y2:%f\n", y1, y2);
} while (abs(y2 - y1)>0.0001);
return y2;
}

对比两个程序，明显我的程序要长一些，看起来复杂一些。因为我的程序是纯面向过程的。

自从学了c++以后，第一次接触面向对象的概念，总觉得这个家伙特别的高大上，同时把它当做了c与c++的一个区别。听过其他老师讲的课，每次也特别强调c语言是一个纯面向过程的语言。其实现在感觉到，面向过程还是面向对象其实不需要区分的那么明显，不过是两种不同的编程思想而已。我们这个世界都是辩证统一的，没有什么东西是绝对的，编程也一样。不管是面向对象还是面向过程，它们应该是有交互点的。比如编写面向对象的程序，里面有的东西我也可以用面向过程的方式来编写。

一直以来，编程最吸引我的地方就是它很自由，充满了无限的创造性。我想，它在这方面也应该是这样的。

当然，这只是我自己的看法，如果它是对的固然好，如果是错的，希望不要影响了其他人，也希望大家能用辩证的眼光来思考我的话。