Codeforces Round #353 (Div. 2)E. Trains and Statistic

本文解析了CodeForces上的一道题目E，通过动态规划的方法解决了关于火车票购买次数的最小化问题，并给出了详细的算法解释及代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

链接：http://codeforces.com/contest/675/problem/E

题意：给定n个火车站的信息，a[i]表示能在第i站买到去i+1~a[i]之间任意一站的票（a[n]因为是终点站所以只给前n-1个站的信息），设f[i][j]表示从第i个站到第j个站至少要买多少次票。求sum=f[i][j]（i<j）。

分析：CF上是有题解的，不过这个题解挺简练的，需要立即其中的含义。我们设dp[i]表示从第i站到i+1~n所有站所需要的最少次购票，那么有dp[i]=dp[m]-(a[i]-m)+n-i且m是i+1~a[i]之间的数且a[m]最大，如果有多个m取是dp[i]最小的那个。这是CF官方题解给出的dp方程式。首先我们理解一下为什么是取这个m，显然出题人的意思是dp[i]是要从这个a[m]最大上面去继承答案。我们简单画一下图就能发现这样一个大小关系：i<m<a[i]<a[m]<n。这个n-i显然是表示i+1~n每个站至少买一次票，那么哪些站多买了呢？m+1~a[i]这些站，因为之前m到这些站就买了一次票，这一次再买就重复了，于是就有-(a[i]-m)。那么怎么能保证a[i]+1~n的每一站是买的最少的票呢？那么就直接继承dp[m]中最小的买票次数就行啦。

代码：

[cpp]view plain copy 
    
 
    
 #include<map>  
 #include<set>  
 #include<cmath>  
 #include<queue>  
 #include<bitset>  
 #include<math.h>  
 #include<cstdio>  
 #include<vector>  
 #include<string>  
 #include<cstring>  
 #include<iostream>  
 #include<algorithm>  
 #pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")  
 using namespace std;  
 const int N=100010;  
 const int MAX=1000000100;  
 const int mod=100000000;  
 const int MOD1=1000000007;  
 const int MOD2=1000000009;  
 const double EPS=0.00000001;  
 typedef long long ll;  
 const ll MOD=998244353;  
 const int INF=1000000010;  
 typedef double db;  
 typedef unsigned long long ull;  
 int a[N],f[N][20];  
 ll p[N],dp[N];  
 void deal(int n) {  
     int i,j;  
     for (i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];  
     for (i=1;i<20;i++)  
         for (j=1;j<=n;j++)  
         if (j+(1<<i)-1<=n) f[j][i]=max(f[j][i-1],f[j+(1<<(i-1))][i-1]);  
         else break ;  
 }  
 int find_mx(int l,int r) {  
     int m=(int)log2(r-l+1);  
     return max(f[l][m],f[r-(1<<m)+1][m]);  
 }  
 int main()  
 {  
     int i,n,mx;  
     ll ans=0;  
     scanf("%d", &n);  
     for (i=1;i<n;i++) scanf("%d", &a[i]);  
     a[n]=n;deal(n);  
     memset(p,-1,sizeof(p));  
     dp[n]=0;p[n]=n;  
     for (i=n-1;i;i--) {  
         mx=find_mx(i+1,a[i]);  
         dp[i]=p[mx]-a[i]+n-i;ans+=dp[i];  
         if (p[a[i]]==-1) p[a[i]]=dp[i]+i;  
         else p[a[i]]=min(p[a[i]],dp[i]+i);  
     }  
     printf("%I64d\n", ans);  
     return 0;  
 }  