12、信号分析中的对偶性与滤波器知识详解

信号分析中的对偶性与滤波器知识详解

1. 信号分析中的对偶性

信号分析中存在多种对偶形式，主要包括以下几种：
- 时域与频域的对偶 ：不同时域信号对应着不同的频域特征，例如单一的时域方波脉冲在频域会变成 $\sin(x)/x$ 函数。时域脉冲越宽，频域的 $\sin(x)/x$ 函数越窄且越高，其中心高度对应着直流值。
- 模拟/连续与离散/采样系统的对偶 ：模拟系统是连续的，而离散系统是通过对模拟信号进行采样得到的。
- 单个脉冲频谱与重复脉冲频谱的对偶 ：单个脉冲的频谱是连续的，而相同脉冲无限重复后的频谱是离散的。这一特性是快速傅里叶变换（FFT）成功的基础。真正的离散傅里叶变换的计算量与 $n^2$ 相关（$n$ 为样本数量），而 FFT 仅与 $n \times \log(n)$ 相关。不过，应用 FFT 需要一些技巧，可能会影响测量结果。

2. 良好表现系统的特性

一个“表现良好”的系统具有以下两个重要特性：
- 线性特性 ：在时域中相加两个信号，所得信号的频谱与两个原始信号频谱相加的结果相同。若信号被放大 $A$ 倍，幅度谱中的线条也会乘以 $A$，而相位保持不变。
- 时不变特性 ：在不同时间给予系统完全相同的输入，系统将输出完全相同的结果。

系统表现不佳的常见原因是“饱和”。例如，尝试将两个幅度为 7V 的模拟正弦波相加，而电源“轨”为 $\pm$ 10V 时，就会出现问题，数字领域也可能发生类似情况。