8、时间序列分析：随机模型与回归模型详解

时间序列分析：随机模型与回归模型详解

1. 基本随机模型的平稳性分析

在时间序列分析里，平稳性是一个关键概念。以模型 (x_t = \frac{1}{2}x_{t - 1}+\frac{1}{2}x_{t - 2}+w_t) 为例，它属于非平稳模型。我们可以借助向后移位算子来证明这一点，将模型表示为 (-\frac{1}{2}(B^2 + B - 2)x_t = w_t)，也就是 (-\frac{1}{2}(B - 1)(B + 2)x_t = w_t)。多项式 (\theta(B)=-\frac{1}{2}(B - 1)(B + 2)) 的根为 (B = 1) 和 (B=-2)，由于存在单位根 (B = 1)，所以该模型是非平稳的。而对于 AR(2) 模型 (x_t =-\frac{1}{4}x_{t - 2}+w_t)，其特征方程 (1+\frac{1}{4}B^2 = 0) 的根为 (B=\pm2i)，这是复数，绝对值为 2，大于 1，因此该模型是平稳的。在 R 语言中，我们能使用 polyroot 函数来求出多项式的零点，进而检查模型的平稳性。

2. AR(1) 模型的二阶性质

AR(1) 过程可以表示为 (x_t=\alpha x_{t - 1}+w_t)，其中 ({w_t}) 是均值为 0、方差为 (\sigma^2) 的白噪声序列。它的二阶性质如下：
- 均值 (\mu_x = 0)
- 自协方差 (\gamma_k=\frac{\alpha^k\sigma^2}{1 - \alpha^2})

这些性质的推导过程如下：一个稳定的 AR(1) 过程（(|\alpha|\lt1)）可以写成 ((1