无线传感器网络比例公平调度

无线传感器网络的比例公平调度

摘要

本文描述了一种用于无线传感器网络（WSN）的分组调度算法，该算法满足比例公平原则。基于加权轮询策略，所提出的调度算法根据平均分组到达率向不同业务分配不同的服务配额。这保证了在平均分组交付延迟和平均分组丢失率方面的比例公平性。由于该调度算法不执行时间戳、排序等高负载操作，因此易于实现，适用于资源受限的无线传感器网络。对该调度算法在无线传感器网络中的测试结果表明，当采用平均分组交付延迟作为性能指标时，能够保证其比例公平性；当所有队列均发生溢出且以平均分组丢失率作为性能指标时，也能够实现比例公平性。

关键词 无线传感器网络；加权轮询；比例公平性；传输延迟；丢包率

1 引言

随着基于传感器数据的各种民用和军事应用（如环境监测、灾害预防、辅助导航、战术监视、矿区侦察）的发展，无线传感器网络（WSN）[1]已成为大量研究工作的焦点。无线传感器网络的核心目标是提供数据传输能力，以满足各种应用的数据采集需求。

在实际应用中，无线传感器网络通常包含多个异构的数据源和应用程序。因此，存在具有不同流特征和服务质量（QoS）要求的多种数据流[2]。于是，无线传感器网络成为提供差异化数据传输服务并保证各应用程序不同QoS需求的有前景手段[3]。无线传感器网络最显著的特点是有限传输带宽和低计算能力。由于无线传感器网络节点计算资源稀缺以及传统网络的设计理念，大多数无线传感器网络只能提供尽力而为[4]的传输服务。因此，无线传感器网络设计中的一个关键问题是如何在资源受限的情况下传输大量感知数据，同时满足各种QoS要求。

为了满足网络的QoS需求，互联网工程任务组（IETF）提出了两种QoS模型：IntServ[5]和DiffServ[6]。IntServ模型是一种面向连接的QoS机制，采用资源预留协议（RSVP）[7]在数据传输路径上的路由器之间进行QoS认知和资源预留。一旦从源路由器到目的路由器的端到端链路建立完成，即可保证QoS需求。为了提供绝对QoS，IntServ网络中的所有路由器必须支持相同的QoS协议，并且必须维护链路状态信息。这些约束极大地降低了IntServ网络的可扩展性。

为了消除IntServ模型的这些缺点，IETF提出了DiffServ模型。DiffServ是一种无连接服务质量机制，其中每个中继节点根据预定义服务质量等级[8]分别执行其调度策略。与IntServ不同，在数据传输之前无需建立端到端链路，且中继节点无需维护链路状态。因此，DiffServ模式比IntServ更灵活。

DiffServ的可扩展性、分布式管理和松散控制已被广泛应用于网络服务质量研究[9–13]。这些显著优势意味着DiffServ为在无线传感器网络中支持差异化的数据传输服务提供了途径。

DiffServ模型根据用户类型将数据流划分为不同的服务类别。基于DiffServ的网络无法保证用户或应用的绝对服务质量水平，例如分组传输的上限或最小吞吐量，但可以保证高优先级用户或应用[14]的服务质量优于低优先级用户或应用。

由于区分服务网络中没有绝对QoS保证，因此有必要量化不同服务类别之间的差异，以便用户可以根据成本和预期的服务质量选择适当的级别。

为了实现这一目标，Dovrolis通过分组调度[15]提出了比例公平原则。在该原则下，网络和计算资源根据资源提供者或网络服务提供商分配的比例系数进行分配。因此，每个服务类别的服务质量随网络流量负载而变化，但服务类别的服务质量比例保持不变。

现有的基于比例公平性的分组调度算法包括比例延迟调度算法（PAD）[15],、自适应比例延迟差异化服务（APDDS）[16],和比例丢包率（PLR）[17]。PAD和APDDS实现了平均队列延迟的比例公平性，而PLR实现了平均分组丢失率的比例公平性。这三种调度算法会引入显著的额外计算负载，因此不适用于资源受限的无线传感器网络。

比例公平性调度的思想已被应用于无线网络的下行链路传输以及认知无线电网络的信道分配。本文基于加权轮询调度（WRR），提出了两种比例公平分组调度算法，通过调整每个服务类的服务配额，实现分组传输延迟和丢包率的比例公平性。

2 比例公平性分组调度算法

2.1 比例公平原则

在分组传输中，比例公平原则旨在通过分组调度维持所有服务类别之间特定服务质量指标的比例。比例公平原则可以描述为：
$$
q_{j1} : q_{j2} : \cdots : q_{jK} = Q_{j1} : Q_{j2} : \cdots : Q_{jK}
\quad (i = 1, 2, …, K; j = 1, 2, …, n)
\tag{1}
$$
其中，$q_{ji}(i=1;2;\cdots K;j=1;2;\cdots;n)$ 表示第 $i$ 类服务的第 $j$ 个性能指标，$K$ 表示网络运营商提供的服务类别总数，$n$ 表示性能指标的数量，而 $Q_{j1}:Q_{j2}:\cdots:Q_{jK}(j=1;2;\cdots;n)$ 表示网络运营商分配的第 $j$ 个性能指标的比例。

平均分组传输延迟和平均分组丢失率是传统IP网络和无线传感器网络中最重要 的性能指标[2]。因此，分组调度算法的目标是在平均分组交付延迟中实现比例公平原则，或在发生丢包的情况下在平均丢包率中实现比例公平原则。

2.2 用于比例公平性的轮询分组调度

由于易于实现且开销较小，基于WRR的分组调度成为实现比例公平原则的主要方式。为了对不同服务类执行不同的转发策略，在转发节点上为每个服务类设置一个独立队列。到达的分组根据其服务类被划分到不同的队列中，并等待调度。该过程如图1所示。

在基于加权轮询的调度过程中，调度器根据预计算的服务配额为每个队列发送数据包。如果网络状态保持不变，则无需重新计算服务配额。基本的基于加权轮询的调度如算法1所述，其中W[]是预计算的服务配额向量，函数Get(i,j)用于从第i类服务的队列中获取j个数据包。

在算法1中，调度器在每轮服务中为第i类服务发送W[i]个数据包，这加剧了数据包排队时间的抖动。作为改进，本文提出了一种优化的调度过程，通过在每轮服务中发送一个数据包来平滑数据包排队时间的抖动。所提出的调度过程如算法2所述。

如算法2所示，当某个服务类的队列为空时，调度器将直接跳过该队列并服务下一个队列。因此，该服务类的配额会被其他服务类别占用。此策略适用于实现短期比例公平性，但不适用于长期比例公平性。这里，我们引入概念基于deficit（亏缺）和加权轮询，提出了一种用于实现长期比例公平的deficit和加权轮询‐based（DWRR‐based）调度算法。该基于DWRR的调度在算法3中进行了描述。

3 提出的比例公平分组调度算法

3.1 用于平均分组传输延迟比例公平性的分组调度算法

如前一节所述，转发节点为每个服务类设置长度为N的独立队列，用于缓存等待调度的数据包。在转发数据包时，采用WRR策略从所有缓冲队列中调度数据包。

假设第i个服务类的分组到达率服从参数为$\lambda_i$的泊松分布，且平均分组服务时间（包括排队时间和传输时间）服从参数为 $\frac{1}{\mu_i}$的负指数分布，则队列$i(i=1,2,…,K)$是一个M/M/1/N/1系统。我们用队列中不同的数据包数量表示其对应状态；因此，长度为N的队列系统将具有$N +1$ 个状态。该队列系统的状态转移如图2所示，表明该队列系统可被建模为一个马尔可夫过程。

根据图2所示的状态转移，可以推导出队列系统的稳态概率方程为：
$$
\begin{cases}
\lambda_i P_0 = \mu_i P_1 \
\lambda_i P_{n-1} + \mu_i P_{n+1} = (\lambda_i + \mu_i) P_n & 1 \leq n \leq N - 1 \
\lambda_i P_{N-1} = \mu_i P_N \
\sum_{j=0}^{N} P_j = 1
\end{cases}
\tag{2}
$$
如果我们将 $q_i = \frac{\lambda_i}{\mu_i}$ 代入并求解公式(2)，则状态转移的概率为：
$$
P_j =
\begin{cases}
\frac{1 - q_i}{1 - q_i^{N+1}} \cdot q_i^j & q_i \neq 1 \
\frac{1}{N + 1} & q_i = 1
\end{cases}
\quad i = 0, 1, 2, …, N
\tag{3}
$$
由于该队列是一个M/M/1/N/1系统，第i类服务的平均队列长度$L_i$可以推导为：
$$
L_i = \sum_{n=0}^{N} n \cdot P_n =
\begin{cases}
\frac{q_i}{1 - q_i} - \frac{(N + 1) \cdot q_i^{N+1}}{1 - q_i^{N+1}} & q_i \neq 1 \
N/2 & q_i = 1
\end{cases}
\tag{4}
$$
基于此推导，可以得出$W_i$的平均数据包排队时间为：
$$
W_i = \frac{L_i / \mu_i}{\lambda_i \cdot (1 - P_n)} =
\begin{cases}
\frac{1}{\mu_i} \cdot \frac{1 - q_i^N - N \cdot \mu_i^N + N \cdot q_i^{N+1}}{1 - q_i - q_i^N + q_i^{N+1}} & q_i \neq 1 \
N/(2 \cdot \mu_i) & q_i = 1
\end{cases}
\tag{5}
$$
停留时间 $W_i$ 是分组排队延迟和传输延迟的总和。当队列大小 $N$ 较大时，可使用式(5)的极限值作为近似真值。此时，式(5)可简化为：
$$
W_i =
\begin{cases}
\frac{1}{\mu_i - \lambda_i} & \mu_i < \lambda_i \
N/(2 \cdot \mu_i) & \mu_i = \lambda_i \
N/\mu_i & \mu_i > \lambda_i
\end{cases}
\tag{6}
$$
为了实现平均分组传输延迟的比例公平性，我们必须满足：
$$
W_1 : W_2 : \cdots : W_K = d_1 : d_2 : \cdots : d_K
\tag{7}
$$
其中$d_1: d_2: \cdots: d_K$是 $K$个服务类别的平均分组投递时延比。由公式(6)和(7)可得：
$$
W_1: W_2: \cdots: W_K = d_1: d_2: \cdots: d_K \quad \sum_{i} \mu_i = C
\tag{8}
$$
公式(6)表明，$W_i (i=1;2;\cdots;K)$ 可以根据平均分组到达率与服务配额之间的关系呈现三种不同的形式。然而，在未求解公式(8)之前，我们无法确定应使用哪种表达式。为此采用互斥方法求解公式(8)。首先，假设第i类服务的平均分组到达率与服务配额之间的关系满足三种条件之一；其次，将相应的表达式代入公式(8)，求得一个解；最后，验证该解是否满足原先的假设。如果满足，则该解正确；否则，继续尝试其他假设。对于具有K类服务的系统，获得解的期望尝试次数为$\frac{3K}{2}$。在实际中，$\mu_i = \lambda_i$的概率非常小。因此，可以通过优先测试$\mu_i<\lambda_i$和$\mu_i>\lambda_i$的情况来优化求解过程，从而使期望尝试次数接近 $2K-1$。

无论代入哪个表达式，方程始终是线性的，因此可以轻松求解。因此，每个队列的服务配额可以通过 $(2K-1) \times 3(K - 1)$次乘法运算获得。

调度过程在算法2中进行了描述。在传输数据包时，只需检查队列是否具有服务配额。因此，主要的计算负载在于计算传输配额。为了分析所提算法的性能优势，将所提算法的计算负载与PAD算法进行了比较。

在PAD算法中，发送一个数据包需要2N次除法运算。假设在单位时间t内发送了Ct个数据包，则PAD的计算负载为$2N \times Ct$，而所提算法的计算负载为 $(2K-1) \times 3(K - 1) \times (1 - \sum_{i} P_i(\Delta P))$，其中$P_i$（i = 1, …, K）是第i类服务的平均分组到达率的变化概率。在最坏情况下，即$P_i= 1$时，所提算法的计算负载为 $(2K-1) \times 3 (K - 1)$。在本文的测试环境中，当t = 1时，Ct = 1103。比较表明，当$K \leq 10$时，所提算法的计算负载低于PAD。由于APDDS比PAD更复杂，因此所提算法也优于APDDS。在当前的Diff-Serv模型中，最多有八个服务类别，因此所提的Zm可以满足应用需求。

3.2 针对平均分组丢失率的比例公平性分组调度算法

由于无线传感器网络节点的存储容量有限，当相应的缓冲队列满时，数据包将被丢弃。为了确保公平性，我们必须保证溢出队列的丢包率是比例公平的。根据公式(2)，对于长度为N的队列，$P_N$表示相应队列满的概率。第i个服务类的平均分组丢失率为：
$$
l_i = P_{iN} \quad (i = 1, 2, …, K; j = 1, 2, …, n)
\tag{9}
$$
显然，只有当平均服务速率低于平均分组到达率时，队列才会满并丢弃数据包。根据公式(3)以及第2.1节中的简化方法，我们得到：
$$
P_{iN} =
\frac{\lambda_i - \mu_i}{\lambda_i}
\quad (\lambda_i > \mu_i)
\tag{10}
$$
根据平均分组丢失率的比例公平性，所有服务类别的丢包率应满足以下条件：
$$
l_1 : l_2 : \cdots : l_K = L_1 : L_2 : \cdots : L_K
\tag{11}
$$
其中$L_1,L_2,…,L_K$为所有服务类别的平均分组丢失率。结合公式(9)、(10)和(11)，可得：
$$
l_1 : l_2 : \cdots : l_K =
\frac{\lambda_1 - \mu_1}{\lambda_1} :
\frac{\lambda_2 - \mu_2}{\lambda_2} : \cdots :
\frac{\lambda_K - \mu_K}{\lambda_K}
\quad \sum_{i} \mu_i = C
\tag{12}
$$
每个队列的服务配额可以从公式(12)中得出。在轮询调度下，根据服务配额可以保证平均分组丢失率的比例公平性。与公式(8)不同，求解公式(12)不需要重复尝试。公式(12)是一个简单的线性方程组，每个队列的服务配额可以通过 $3 \times (N - 1)$次除法运算计算得到。

在PLR算法中，每丢弃一个数据包需要执行 $2 \times N$次乘法和$N-1$次比较操作。然而，在所提算法中，仅当分组到达率发生变化时才需要调整各队列的服务配额。根据第2.1节所述的分析方法，所提算法在计算复杂度方面优于PLR算法。此外，由于被动丢包策略意味着当场列满时新到达的数据包将被自动丢弃，因此不存在特定的丢包过程，从而降低了系统开销。上述分析表明，所提算法无需监控队列长度即可实现平均分组传输延迟和丢包率，且仅需平均分组到达率即可调整每个队列的服务配额。此外，服务配额仅取决于每类分组的平均速率，因此如果平均分组速率没有变化，则无需重新分配服务配额。这进一步简化了调度算法，使得所提算法更适合资源受限的无线传感器网络。

4 性能评估

所提出的调度算法通过一个具有如图3所示拓扑结构的实际无线传感器网络进行了验证，其中节点1、节点2和节点3分别为服务类1、2和3的普通无线传感器网络节点。服务类优先级为类1>类2>类3。在测试中，无线带宽设置为250 kb/s，每个数据包的大小固定为29字节。节点4负责调度和转发数据包，节点5是网关，节点6是汇聚节点，负责接收数据包并分析测试结果。

在测试中，所有服务类的平均分组传输延迟和平均丢包率比例为1:2:3，其中分组传输延迟表示从源节点到网关节点的分组传播时间。在涉及的性能评估场景中，所有无线传感器网络节点均运行在MPR2400 MICA平台，网关节点运行在Mb510平台。测试参数总结见表1。

4.1 平均分组传输延迟

为了考察平均分组交付延迟，三类服务的分组发送速率从23 kb/s逐渐增加到158 kb/s。图4显示了转发节点分配的服务配额随平均分组到达率的变化情况。

三类服务的平均分组传输延迟随着转发节点调度负载的增加而增加。图5显示了三类服务的平均分组传输延迟随平均分组到达率的变化情况。当分组发送速率超过135 kb/s时，所有三类服务的队列均发生溢出，平均分组传输延迟变为恒定值。该对比表明，分组发送速率的增加会导致三类服务的平均分组传输延迟增加，而三类服务之间的平均分组传输延迟比例保持不变。

4.2 平均分组丢失率

图6显示了转发节点分配的服务配额随平均分组到达率的变化情况从91增加到136 kb/s。图7显示了三类服务的平均分组丢失率随服务配额的变化情况。图6中的比较表明，分组发送速率的增加会导致三类服务的平均丢包率上升，而三类服务的平均分组丢失率的比例并非保持不变。

表1 测试参数
无线链路带宽	250 kb/s
服务类别数量	3
发送节点数量	3
转发节点数量	1
网关节点数量	1
汇聚节点数量	1
平均交付延迟占比	1:2:3
平均丢包率占比	1:2:3
数据包大小	29字节
最小数据包发送速率	23 kb/s
最大数据包发送速率	158 kb/s

5 比例公平调度算法的适用性分析

先前的分析和性能评估仅针对分组传输路径上单跳执行比例公平性调度的情况。在实际网络环境中，比例公平性调度算法的使用比测试环境更加复杂。在本节中，我们将分析所提出的两种比例公平性调度算法的适用性。

5.1 平均传输延迟比例公平调度算法的适用性分析

在讨论所提出的平均传输延迟比例公平性调度算法的适用场景之前，我们首先给出以下定理及其相应证明。

定理5.1 对于沿相同路径转发的不同服务类别的业务流，如果路径上所有转发节点均采用相同的端到端平均传输延迟比例公平调度算法，则所有服务类别的端到端平均传输延迟比例将保持与每个转发节点相同的比例。

证明 我们使用数学归纳法来证明该定理。

假设有 $K$ 类服务，且给定的 $K$ 个服务类别的平均传输延迟比例为 $D_1:D_2:\cdots:D_K$。

(1) 当传输路径上只有一跳时，转发节点上 $K$ 类服务的平均传输延迟分别为 $d_1;d_2;\cdots,$ 和 $d_K$。根据前提条件，$K$ 类服务的平均传输延迟比例为 $D_1:D_2:\cdots:D_K$，结论成立；

(2) 当传输路径上有N跳时，$d_{ji}(i\in[1,K];j\in[1,N])$表示第i类服务在第j个转发节点上的传输延迟。我们假设服务类1在每个转发节点上的平均延迟分别为 $d_{11}, d_{21}, \cdots,$ 和$d_{N1}$。相应地，平均服务类$i(i=2,K)$在每个转发节点上的延迟分别表示为$d_{1k},d_{2k},\cdots,$ 和$d_{Nk}$。根据传输延迟部分$D_1:D_2:\cdots:D_K$，可从第j个转发节点上服务类1的平均传输延迟推导出第j个转发节点上服务类i的平均传输延迟：
$$
d_{ji} = \frac{d_{j1} \cdot D_i}{D_1}
\tag{13}
$$
然后，服务类i的端到端平均传输延迟为：
$$
d_i = \sum_{j=1}^{N} d_{ji} = \frac{d_{11} \cdot D_i}{D_1} + \frac{d_{21} \cdot D_i}{D_1} + \cdots + \frac{d_{N1} \cdot D_i}{D_1} = \left(\sum_{j=1}^{N} d_{j1}\right) \cdot \frac{D_i}{D_1}
\tag{14}
$$
然后，K个服务类别的端到端平均传输延迟比例为：
$$
d_1: d_2: \cdots: d_K = \sum_{j=1}^{N} d_{j1} : \sum_{j=1}^{N} d_{j1} \cdot \frac{D_2}{D_1} : \cdots : \sum_{j=1}^{N} d_{j1} \cdot \frac{D_k}{D_1} = D_1: D_2: \cdots: D_k
\tag{15}
$$
根据公式(15)，该结论适用于N跳转发场景。

(3) 当传输路径上有 $N+1$ 跳时，我们假设服务类1在第 $N+1$ 个转发节点上的平均延迟为 $d_{(N+1)1}$。根据传输延迟部分 $D_1:D_2:\cdots:D_K$，可推导出服务类 $i$ 在第 $N+1$ 个转发节点上的平均传输延迟为 $d_{(N+1)1} \cdot \frac{D_i}{D_1}$。那么， $K$ 类服务的端到端平均传输延迟比例为：
$$
d_1: d_2: \cdots: d_K =
\left(\sum_{j=1}^{N} d_{j1} + d_{(N+1)1}\right) :
\left(\sum_{j=1}^{N} d_{j1} \cdot \frac{D_2}{D_1} + d_{(N+1)1} \cdot \frac{D_2}{D_1}\right) : \cdots :
\left(\sum_{j=1}^{N} d_{j1} \cdot \frac{D_k}{D_1} + d_{(N+1)1} \cdot \frac{D_k}{D_1}\right)
= \sum_{j=1}^{N+1} d_{j1} : \sum_{j=1}^{N+1} d_{j1} \cdot \frac{D_2}{D_1} : \cdots : \sum_{j=1}^{N+1} d_{j1} \cdot \frac{D_k}{D_1}
= D_1 : D_2 : \cdots: D_K
\tag{16}
$$
根据公式(16)，该结论适用于 $N＋1$ 跳转发场景。

综上所述，定理5.1成立。

根据定理5.1，对于具有相同源、目的和转发路径的不同业务流，通过在所有转发节点上部署所提出的比例公平性调度算法，可以保证端到端传输延迟的比例公平性。

5.2 平均分组丢失率比例公平调度算法适用性分析

基于区分服务的概念，在网络运行过程中，转发节点之间无需交互和协商，每个节点根据给定的丢包率比例独立执行分组转发。基于这一前提，本文仅讨论所有节点按照相同的丢包率比例进行分组调度的情况。

为了分析平均分组丢失率比例公平性算法的适用场景，我们首先给出定理5.2及其相应证明。

定理5.2 假设网络提供 $K$ 类服务，给定的 $K$ 类服务的平均分组丢失率比例为 $L_1:L_2:\cdots:L_K$，且存在 $(\forall k\in[1,K];L_k \neq 0)$。对于沿相同转发路径传输的不同服务类别的业务流，当所有转发节点执行相同的基于丢包率的比例公平性调度时，若在转发路径上有多个转发节点丢弃数据包，则无法保证端到端的丢包率比例公平性。

证明 当传输路径上只有一跳时，根据先前的分析，可以实现平均分组丢失率的比例公平性。

令$l_{jk}$表示沿传输路径第j个转发节点上第k个服务类的平均丢包率。当传输路径上有两个跳段时，服务类1在第一和第二个转发节点上的平均丢包率分别用$l_{11}$和$l_{21}$表示。相应地，服务类$k(k=2,K)$在各个转发节点上的平均丢包率分别用$l_{1k}$和$l_{2k}$表示。根据丢包率比例$L_1:L_2:\cdots:L_K$，服务类k在第一和第二个转发节点上的平均丢包率可由服务类1的平均丢包率推导得出：
$$
l_{1k} = l_{11} \cdot \frac{L_k}{L_1}, \quad
l_{2k} = l_{21} \cdot \frac{L_k}{L_1}
\tag{17}
$$
并且可以推导出端到-end传输的平均分组丢失率：
$$
l_1 = l_{11} + l_{21} - l_{11} \cdot l_{21}, \quad
l_i = l_{1k} + l_{2k} - l_{1k} \cdot l_{2k}
\tag{18}
$$
假设端到-end传输的丢包率遵循给定比例 $L_1:L_2:\cdots:L_K$，则我们得到：
$$
l_1: l_i = L_1: L_k \Rightarrow
l_{11} + l_{21} - l_{11} \cdot l_{21} : l_{1k} + l_{2k} - l_{1k} \cdot l_{2k} = L_1: L_k
\Rightarrow
l_{11} + l_{21} - l_{11} \cdot l_{21} : \frac{l_{11} L_k}{L_1} + \frac{l_{21} L_k}{L_1} - \frac{l_{11} L_k}{L_1} \cdot \frac{l_{21} L_k}{L_1} = L_1: L_k
\Rightarrow
\frac{l_1 + l_2 - l_1 l_2}{\frac{l_1 L_k}{L_1} + \frac{l_2 L_k}{L_1} - \frac{l_1 l_2 L_k^2}{L_1^2}} = \frac{L_1}{L_k}
\Rightarrow l_1 l_2 = l_1 l_2 L_k
\tag{19}
$$
已知 $L_k \neq 1$ 且 $l_1 \neq 0$，则将有 $l_2 = 0$。该结论与定理5.2的前提条件相矛盾，即 $K$ 类服务的平均分组丢失率的给定比例为 $L_1:L_2:\cdots:L_K$，并且存在 $(\forall i\in[1,K];L_i \neq 0)$。因此，该假设不成立。

从公式(17)到(19)的推导表明，当$N=2$且第一个转发节点保证丢包率的比例公平性时，为了使总丢包率符合给定比例，第二跳上的丢包率必须为0。同理，当传输路径上有$N＋1$跳，且前$N$跳保证了丢包率的比例公平性时，为了实现端到-end丢包率的比例公平性，第$N＋1$跳的丢包率必须为0。

综上所述，定理5.2成立。

根据定理5.2，对于具有相同源、目的和转发路径的不同业务流，通过在传输路径上唯一存在丢包的转发节点上部署所提出的比例公平性调度算法，可以保证端到-end丢包率的比例公平性。实际上，该调度算法可部署于接入网络网关的下行链路，该位置通常是网络传输的瓶颈。

6 结论

本文提出了一种比例公平WRR算法。根据不同服务类别的平均分组到达率，所提出的调度算法通过调整每个服务类的传输配额，以实现平均分组传输延迟和平均分组丢失率的比例公平性。所提算法仅需各服务类的平均分组到达率来计算传输配额，因此无需时间戳、排队等复杂操作，降低了资源消耗，使算法更易于实现。因此，所提算法适用于资源受限的无线传感器网络。通过在实际无线传感器网络中评估其性能，验证了所提算法的可行性。