UVA 11594 UVA11603(与hdu4700类似) 点对点的最小割 Gomory-Hu 和Gusfield算法学习

这篇博客详细介绍了UVA 11594和UVA 11603两道题目，涉及Gusfield算法和Gomory-Hu算法在解决点对点最小割问题的应用。内容包括算法概述、解题思路以及构造满足条件的网络。通过对最小割的选取策略，确保了算法的正确性和效率。

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UVA 11594：Gusfield算法

题意：给你n个点的容量网络图(n <= 100)，求出两两之间的最大流(最小割)

算法概述：原先所有点在一个集合，每次任选一个集合进行处理，在集合内任选2个点，求一次最小割s-t，然后用s-t割更新被这个割所能切割的点对(点对为已经选过的所有点组合出的任意两点之间的点对)，直到所有集合中点的个数为1时结束。

code在下面

UVA 11603: Gomory-Hu算法

题意：n个点(n <= 200), 给你任意两点间的最大流(最小割)，让你构造一个容量网络满足这个条件。

分析：我们只要构造一个解就可以了，解可以是一颗树，因为当解成环时，总可以去掉环上的一条边，然后把这条边的容量加到其它所有该环内的边上去(可以自己去验证一下)。那么问题就变为如何构造这样一棵树

算法概述：我们每次找出所有点对中没有选过的最小的最小割，然后加入树边，然后就可以递归成分别构造用该树边连接的2个集合的一颗树(子问题)， 2个集合是用当前选的s-t割给割开来的。直到子集合的点数小于等于1的情况就结束。

为什么选最小的最小割：因为这样保证之后选的s-t割比之前的大，这样就不会把前面s-t割割断。

如何判不可能：

1.当点数>= 2时不能分成2个集合

2.分别两个集合内找一点，存在这两点之间的最小割大于当前选的s-t割。

code在下面

UVA 11594：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 203;
const int inf = 1e9;
struct Edge {
	int v, c, next;
	Edge(){}
	Edge(int v, int c, int next) : v(v), c(c), next(next) {}
}edge[maxn*maxn<<1];

int n, m;
int head[maxn], E;

void init() {
	E = 0;
	memset(head, -1, sizeof(head));
}

void add(int s, int t, int c) {
	edge[E] = Edge(t, c, head[s]);
	head[s] = E++;
	edge[E] = Edge(s, 0, head[t]);
	head[t] = E++;
}
int gap[maxn], dis[maxn], pre[maxn], cur[maxn];
int sap(int s, int t, int n) // s 源点，t汇点，n顶点总数
        {
    int i;
    for(i = 0; i <= n; i++) {
        dis[i] = gap[i] = 0;
        cur[i] = head[i];
    }
    gap[0] = n;
    int u = pre[s] = s, maxf = 0, aug = inf, v;
    while(dis[s] < n) {
        loop: for(i = cur[u]; ~i; i = edge[i].next) {
            v = edge[i].v;
            if(edge[i].c  && dis[u] == dis[v] + 1) {
                aug = min(aug, edge[i].c);
                pre[v] = u;
                cur[u] = i;
                u = v;
                if(u == t) {
                    while(u != s) {
                        u = pre[u];
                        edge[cur[u]].c -= aug;
                        edge[cur[u] ^ 1].c += aug;
                    }
                    maxf += aug;
                    aug = inf;
                }
                goto loop;
            }
        }
        int d = n;
        for(i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
            v = edge[i].v;
            if(edge[i].c && dis[v] < d) {
                d = dis[v];
                cur[u] = i;
            }
        }
        if(!(--gap[dis[u]]))
            break;
        ++gap[dis[u] = d + 1];
        u = pre[u];
    }
    return maxf;
}
//************************
int ans[maxn][maxn], p[maxn]; // p[i]: 点i的集合编号
bool mk[maxn];
void dfs(int u) {
	mk[u] = 1;
	int i;
	for(i = head[u]; ~i; i = edge[i].next) {
        int v = edge[i].v;
        if(!mk[v] && edge[i].c) dfs(v);
	}
}
void solve(int n) {
	int i, j;
	for(i = 0; i < n; i++) {
		for(j = 0; j < n; j++) {
			ans[i][j] = inf;
		}
		p[i] = 0;
	}
	for(i = 1; i < n; i++) {
		for(j = 0; j < E; j += 2) { //把图还原成原图
			edge[j].c += edge[j^1].c;
			edge[j^1].c = 0;
		}
		for(j = 0; j < n; j++) mk[j] = 0;
		int cut = sap(i, p[i], n);	//算法中取集合里的任意两点：这里我们有规则地取。
		ans[i][p[i]] = ans[p[i]][i] = cut;
		dfs(i);		//找出被s-t割割掉后的一个集合，那么剩下的点就是另外一个集合
		for(j = i+1; j < n; j++) if(mk[j] && p[i] == p[j]) 	//找出的集合更新集合编号
			p[j] = i;
		for(j = 0; j < i; j++)	//用当前s-t割去更新被其割掉的         已经选过的所有点组成的点对
			ans[i][j] = ans[j][i] = min(cut, ans[p[i]][j]);
	}
	for(i = 0; i < n; i++)
        for(j = 0; j < n; j++) {
            if(i == j) printf("0");
            else printf("%d", ans[i][j]);
            if(j == n-1) puts("");
            else printf(" ");
        }
}
int tp;
int main() {
	int i, j, cas;
	scanf("%d", &cas);
	for(int ca = 1; ca <= cas; ca++) {
        scanf("%d", &n);
		printf("Case #%d:\n", ca);
		if(!n) continue;
		init();
		for(i = 0; i < n; i++)
			for(j = 0; j < n; j++) {
				scanf("%d", &tp);
				if(tp) add(i, j, tp);
			}
		solve(n);
	}
	return 0;
}

UVA 11603 :

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;
const int inf = 1e9+7;
int n;
int cap[204][204];
struct node {
	int u, v, c;
};
vector <node> ans;
bool dfs(vector <int> v) {
    int Min = inf, i, j, sz = v.size();
    if(sz <= 1) return 1;
    for(i = 0; i < sz; i++)
        for(j = i+1; j < sz; j++)
            if(cap[v[i]][v[j]] < Min)
                Min = cap[v[i]][v[j]];
    vector <int> l, r;
    l.push_back(v[0]);
    for(i = 1; i < sz; i++)
        if(cap[v[0]][v[i]] > Min) l.push_back(v[i]);
        else r.push_back(v[i]);
    if(l.empty() || r.empty()) return 0;
    for(i = 0; i < l.size(); i++)
        for(j = 0; j < r.size(); j++)
            if(cap[l[i]][r[j]] != Min) return 0;
    if(Min > 0)ans.push_back(node{l[0], r[0], Min});
    return dfs(l) && dfs(r);
}
int main() {
    int i, j, cas, ca = 1;
    scanf("%d", &cas);
    while(cas--) {
    	scanf("%d", &n);
        vector <int> v;
        for(i = 0; i < n; i++) {
            for(j = 0; j < n; j++)
                scanf("%d", &cap[i][j]);
        }
        printf("Case #%d: ", ca++);
        ans.clear();
        for(i = 0; i < n; i++) v.push_back(i);
        if(dfs(v)) {
            printf("%d\n", ans.size());
            for(i = 0; i < ans.size(); i++)
            	printf("%d %d %d\n", ans[i].u, ans[i].v, ans[i].c);
        }
        else puts("Impossible");
    }
    return 0;
}