【原创】bzoj 4710 极光 未完成

极光

题目描述

“若是万一琪露诺（俗称rhl）进行攻击，什么都好，冷静地回答她的问题来吸引她。对方表现出兴趣的话，那就慢慢地反问。在她考虑答案的时候，趁机逃吧。就算是很简单的问题，她一定也答不上来。” ——《上古之魔书》
天空中出现了许多的北极光，这些北极光组成了一个长度为n的正整数数列a[i],远古之魔书上记载到：2个位置的graze值为两者位置差与数值差的和：
graze(x,y)=|x-y|+|a[x]-a[y]|。
要想破解天罚，就必须支持2种操作（k都是正整数）：
Modify x k：将第x个数的值修改为k。
Query x k：询问有几个i满足graze(x,i)<=k。
由于从前的天罚被圣王lmc破解了，所以rhl改进了她的法术，询问不仅要考虑当前数列，还要考虑任意历史版本，即统计任意位置上出现过的任意数值与当前的a[x]的graze值<=k的对数。（某位置多次修改为同样的数值，按多次统计）

输入格式

第1行两个整数n,q。分别表示数列长度和操作数。
第2行n个正整数，代表初始数列。
第3~q+2行每行一个操作。

输出格式

对于每次询问操作，输出一个非负整数表示答案。

输入样例

3 5
2 4 3
Query 2 2
Modify 1 3
Query 2 2
Modify 1 2
Query 1 1

输出样例

2
3
3

提示

分析

第一眼看过去以为它是可持久化的，就是询问某个历史版本，结果是询问所有历史版本。
所以modify操作$=$加点……
那么题意就是modify加点，然后query查询对于某个点，图上与它的曼哈顿距离小于等于某个值的点的个数。

那么如果我们把坐标系翻转45°之后，这个题就变成了类似于简单题一样的板子题了。
那么怎么翻转呢？

如上图所示，设旋转之前的点的坐标为$(x,y)$，旋转之后的坐标为$(x^{\prime },y^{\prime })$。
那么我们可以很愉快的列出方程：
$$\{\begin{array}{l}x=\sqrt{2}{x}^{\prime }+y\\ y^{\prime }=x^{\prime }+\sqrt{2}y\end{array}$$

于是愉快地解得
$$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=\frac{x-y}{\sqrt{2}}\\ y^{\prime }=\frac{x+y}{\sqrt{2}}\end{array}$$

那个$\sqrt{2}$让我们很不爽，于是我们把整个新坐标轴拉伸一下，每个点的横纵坐标都变为原来的$\sqrt{2}$倍，所以$x^{\prime }=x-y,y^{\prime }=x+y$。
而我们要在之前的坐标系里求它曼哈顿距离为k的（丑死了的橙色正方形）的区域内的这个正方形，因为坐标都$\sqrt{2}$了，所以就相当于在这个新坐标系里一个正正方方的，长度为$2k$的正方形了。

于是我们就可以快乐CDQ了。