双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance-Distribution Function, BRDF）

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双向反射分布函数（Bidirectional Reflectance-Distribution Function, BRDF）

辐射通量（radiation flux）通过立体角

dωi[sr]d\omega_{i} [sr]

，以

(θi,ϕi)(\theta_{i},\phi_{i})

角度照射到表面

A_{i}

上。分配到以点

x_{i}, y_{i})

为中心的

dA_{i}

面上的入射量表示为

dΦi[W]d^{\Phi _{i}} [W]

。在点

x_{r}, y_{r})

以

(θr,ϕr)(\theta_{r},\phi_{r})

角度反射来自

dΦi[W]d^{\Phi _{i}} [W]

的辐射率表示为

dL_{r}

。一般情况下，

dL_{r}

与

dΦi[W]d^{\Phi _{i}} [W]

是成比例，如下：

$dLr=S⋅dΦi[W⋅m−2⋅sr−1]dL_{r} = S \cdot d^{\Phi _{i}} [W \cdot m^{-2} \cdot sr^{-1}]$ ------------------- 1
因子 $S$ 依赖于入射光及出射光的位置，方向。

$S(\theta_{i}, \Phi_{i}, x_{i}, y_{i}, \theta_{r}, \Phi_{r}, x_{r}, y_{r}) [m^{-2} \cdot sr^{-1}]$ ------------------- 2
这个基本的比例函数 $S$ 叫做双向散射表面反射分布函数（Bidirectional scattering-surface reflectance-distribution function, BSSRDF）。

入射光与发射光在微面元作用示意图
这种表示形式，仅仅提供了在入射通量与反射通量之间的最一般化的，没有加入任何假设的表达方式。

在微面元模型下，入射光以极角（polar angles）表示为 $(θi,ϕi)(\theta_{i}, \phi_{i})$ ，并 $假设表面Ai是均匀辐射\color{#ea4335}{假设表面A_{i}是均匀辐射}$ 。
那么入射光的辐射率（radiance）仅仅依赖于入射方向：
$Li=Li(θi,ϕi)[W⋅m−2⋅sr−1]L_{i} = L_{i}(\theta_{i}, \phi_{i}) [W \cdot m^{-2} \cdot sr^{-1}]$ ------------------------------ 3

在微面 $dA_{i}$ 上的入射通量 $dΦid\Phi_{i}$ ，即来自 $(θi,ϕi)(\theta_{i}, \phi_{i})$ 方向的立体角 $dωid\omega_{i}$ 的通量为：
$dΦi=Li⋅cosθi⋅dωi⋅dAi=dEi⋅dAid\Phi_{i} = L_ {i} \cdot cos\theta_{i} \cdot d\omega_{i} \cdot dA_{i} = dE_{i}\cdot dA_{i}$ ------------------------------ 4

这里 $dEi=Li⋅cosθi⋅dωidE_{i} = L_{i}\cdot cos\theta_{i} \cdot d\omega_{i}$ 表示入射光辐射照度， $dωid\omega_{i}$ 为入射光限定内的立体角。这样把所有的 $(θi,ϕi)(\theta_{i}, \phi_{i})$ 方向上，以 $dωid\omega_{i}$ 为立体角的入射通量加起来，就可以计算传输到整个辐射面上的辐射量：
$dLr(θi,ϕi;θr,ϕr,xr,yr)dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}, x_{r}, y_{r})$ $=∫AidLr(θi,ϕi;θr,ϕr,xr,yr)=\int_{A_{i}}dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}, x_{r}, y_{r})$
$\int_{A_{i}}S\cdot d\Phi_{i} = dE_{i} \cdot \int_{A_{i}} S \cdot dA_{i}$
$dE_{i} \cdot \int_{A_{i}} S(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}, x_{r}, y_{r}) \cdot dA_{i} [W \cdot m^{-2 \cdot sr^{-1}}]$ ------------------------------ 5

如果 $假设样本的散射属性在参考表面是均匀的且各项同性\color{#ea4335}{假设样本的散射属性在参考表面是均匀的且各项同性}$ ，那么散射方程 $S$ 就不依赖于出射光位置 $x_{r}, y_{r})$ ，但仍依赖于入射光位置 $x_{i}, y_{i})$ 和出射光位置 $x_{r}, y_{r})$ 之间的距离 $r$ ，这样等式5可以改写成：
$dLr=dEi⋅fr(θi,ϕi;θr,ϕr)[W⋅m−2⋅sr−1]dL_{r}=dE_{i} \cdot f_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r}) [W \cdot m^{-2 \cdot sr^{-1}}]$ ------------------------------ 6
$fr=∫AiS(θi,ϕi;θr,ϕr;r)⋅Ai[sr−1]f_{r}=\int_{A_{i}}S(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r};r) \cdot A_{i} [sr^{-1}]$ ------------------------------ 7
$r = [(x_{i}-x_{r})^2]+(y_{i}-y_{r})^{2}]$ ------------------------------ 8

因此，对于均匀辐照度（受照面单位面积上的辐射通量），量化反射属性的基本量化函数 $f_{r}$ 可以表示为：
$fr(θi,ϕi;θr,ϕr)=dLr(θi,ϕi;θr,ϕr;Ei)/dEi(θi,ϕi)=dLr(θi,ϕi;θr,ϕr;Ei)/[Li(θi,ϕi)⋅cosθi⋅dωi)][sr−1]f_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r})=dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r};E_{i})/dE_{i}(\theta_{i}, \phi_{i})=dL_{r}(\theta_{i}, \phi_{i}; \theta_{r}, \phi_{r};E_{i})/[ L_{i}(\theta_{i},\phi_{i}) \cdot cos\theta_{i} \cdot d\omega_{i})] [sr^{-1}]$ ------------------------------ 9

函数 $f_{r}$ 就是双向反射分布函数，简称为BRDF。对于给定的一对方向，BRDF $f_{r}$ 可以表示为反射量（concentration of reflectacne per steradian），其取值范围 $+\infty)$ 。由于 $f_{r}$ 仅依赖于方向，因此入射通量与出射通量可以简化为下图表示。
BRDF简化表示图