1.3练习

如果q和r是a除以b的商和余数,有a=b*q+r;

a^b%n,用2分;

 
#include<stdio.h>
#define PRINT printf("1.最大公约数 2.最小公倍数 3.a^b%%n  ")
int gcd(int a,int b)
{
    
if(b==0)
        
return a;
    
else
        
return gcd(b,a%b);
}
//最大公约数

int lcm(int a,int b)
{
    
if(a*b==0)
        
return 0;
    
else
        
return a*b/gcd(a,b);
}
//最小公倍数

int modExp(int a,int b,int n)
{
    
int t=1,y=a;
    
while(b!=0){
        
if(b%2==1)
            t
=t*y%n;
        y
=y*y%n;
        b
/=2;
    }
    
return t;
}
//a^b mod n

int main()
{
    
int a,b,n,c,result;
    
while(PRINT,scanf("%d",&c),c){
        scanf(
"%d %d",&a,&b);
        
switch(c){
        
case 1:result=gcd(a,b);break;
        
case 2:result=lcm(a,b);break;
        
case 3:scanf("%d",&n);result=modExp(a,b,n);break;
        }
        printf(
"%d ",result);
    }
    
return 0;
}
 
「埃及分数」是指将一个真分数表示成若干个单位分数之和的形式,其中每个单位分数都是分子为1、分母为正整数的分数,并且所有单位分数互不相同。 例如: \[ \frac{2}{7} = \frac{1}{4} + \frac{1}{28} \] 这类题目常常出现在数学竞赛或算法练习题集中,尤其是在《信息学奥赛一本通》这本书里。「一本通 1.3 练习 1」就是关于如何求解这种类型的表达式的问题之一。对于此类问题,可以采用贪心算法来进行处理。 ### 贪心策略 为了找到给定的一个分数 \(a / b\) 的埃及分数展开形式,我们可以按照以下步骤操作: 1. **寻找最的单元分数** 对于当剩余需要分解的部分 \(\frac{a}{b}\),我们希望从中减去尽可能的那个单一分量。即选择最小的 n 满足 \(\frac{1}{n} <= \frac{a}{b}\) ,也就是让 \(\frac{1}{x}\leqslant \frac{a}{b}, x=\lceil{\frac{b}{a}}\rceil\)(向上取整)。然后从原分数中扣除这个值作为结果的一部分; 2. **递归解决余下的部分** 减去了最可能的单位分数之后,剩下的那部分继续应用上述规则直到全部转换完毕为止; 3. **终止条件** 当 a=0 或者已经得到了足够多的不同项,则停止计算过程并返回最终的结果列表。 通过这种方法能够有效地得到一组符合条件的答案序列。需要注意的是,在某些情况下可能会有多种合法解答方案存在,但我们的目标只是找出任意一种有效路径即可满足题目要求。 下面是一个简单的 Python 实现示例: ```python def egyptian_fraction(a, b): result = [] while (a > 0 and b > 0): # 计算下一个单位分数的分母 unit_denominator = -(-b // a) # 添加到结果集 result.append(f"1/{unit_denominator}") # 更新新的未覆盖部分 lcm = b * unit_denominator updated_a = ((lcm // b) * a - (lcm // unit_denominator)) updated_b = lcm if(updated_a == 0): break; a = updated_a b = updated_b return &#39; + &#39;.join(result) # 示例调用函数 print(egyptian_fraction(6, 14)) # 输出可能是 "1/3 + 1/14" ```
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