二叉树，二叉排序树

一、二叉树的顺序存储表示

     利用满二叉树的特性，在线性表中存储数节点；因此可以利用节点的编号（从左到右，按层标记，根节点标记为0）作为数组的下标，且父节点（p）和子节点（c）下标存在如下关系：p=(c-1)/2；c1=2*p+1；c2=2*p+2。

     缺点：如果数是一棵稀疏的树，那么会浪费大量存储空间。

二、二叉树的链表存储表示

     三叉链表结构中每个树节点有一个指向父节点的指针，有一个指向左子孩子节点的指针，一个指向右子孩子节点的指针。

三、二叉树遍历

     如果L-D-R分别表示访问左子树，访问根，访问右子树，那么遍历树的三种顺序是：前序遍历（D-L-R）、中序遍历（L-D-R）、后序遍历（L-R-D）。

     中序遍历二叉搜索树能以递增的顺序遍历树的所有值。

四、排序二叉树

     排序二叉树具有以下性质：

1. 若任意节点的左子树不为空，则左子树上任一节点的键值都比节点的键值小；
2. 若任意节点的右子树不为空，则右子树上任一节点的键值都比节点的键值大；
3. 任意节点的左、右子树都是排序二叉树；
4. 排序二叉树没有键值相等的节点；

     构建一棵排序二叉树的过程就是一个排序过程。排序二叉树的搜索、删除、插入的复杂度等于树高（log 2 N）。

     二叉搜索树T中查找x（即排序树）的算法：

1. 若T是空树，返回失败，否则；
2. 若x等于根节点键值，返回根节点，否则；
3. 若x小于根节点的键值，在T的左子树中查找x，否则；
4. 在T的右子树中查找x；

     二叉搜索树T新增节点N的算法：

1. 若T是一棵空树，根节点指针（引用）指向节点N，N成树的根节点，否则；
2. 若N的键值等于根节点的键值，返回失败，否则；
3. 若N的键值小于根节点的键值，将N节点新增到左子树上，否则；
4. 把N新增到右子树上；     

     二叉搜索树T删除一个节点K的算法（指向K的指针假设为*p）：

1. 如果K是叶子节点，直接删除K（*p置为null）；
2. 如果K只有一个子树，当K是父节点的左子节点时，把K的子树挂到K的父节点的左子树上；当K是父节点的右子节点时，把K的子树挂到K的父节点的右子树上；
3. 如果K有两棵子树，那么合并K的两棵子树形成新的排序树T1，最后将指向K的指针（引用）指向T1的根节点，删除完成；合并K的子树的过程就是把左子树挂到右子树的最小叶子节点（最左边的叶子节点）的左子树上。

     构造一棵排序二叉树的过程就是一个排序过程，最差时间复杂度是n平方。使用二叉排序树CPU cache的性能较差，堆排序的CPU cache性能较好。另外，排序二叉树是性能最好的增量排序算法。

五、红黑树

     红黑树是一种自平衡二叉排序树。好处：红黑树对搜索、删除、新增操作的时间复杂度提供最好可能的最差情况担保。红黑树的持久版本每次新增或是删除操作需要logn的时间复杂度和logn的空间。