理解信号与系统，以及为什么要傅里叶变换

什么是信号

信号是信息传递的载体。任何一种物理量都可以作为信号来传递信息。比如，音乐既可以用空气振动来表示，也可以用电信号来表示。
在数学形式上，一般把信号作为时间或空间的函数来表示。比如可以把电压写作$v(t)$。也可以是二元函数，比如把一副图片用二位点阵表示，每个点的亮度为$f（x,y）$。在信号与系统这门课里学的信号一般都是以时间为自变量的电信号。

什么是系统

系统可以看作一个黑匣子，把一个信号放进去，就转化成了另一个信号。用一点数学语言来表示的话，系统就是从输入信号到输出信号的一个映射，$y（t）=T[f（t）]$。

系统的两个重要性质

系统有两个性质最为重要。一为线性，二为时不变性。
线性的定义为，如果系统$T$符合$T[ax_1+bx_2]=aT[x_1]+bT[x_2]$,那么T就是一个线性系统。它的好处是，在同一个时刻，如果用一个系统来处理一个复杂的信号，那么我们可以吧这个信号分解成一些简单的信号，用这个系统处理完以后再合成，分而治之。
时不变性的定义为，如果$y(t)=T[f(t)]$，且$y(t-t_0)=T[f(t-t_0)]$，那么T就是一个时不变系统。它的意思是，把输入信号在坐标轴上移来移去，输出信号也会跟着同步移动，但是形状却不会改变。 它的好处是在不同的时刻，我们也可以找到一个好的方法来表示。
线性时不变系统是最容易处理的一种系统。

两个重要的信号

$\delta(t)$

$\delta(t)$的Dirac定义为：

$$\begin{cases} \delta(t)=0,t\neq0\\ \int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)=1 \end{cases}$$
它有一些实用的性质。比如
$$f(t_0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t-t_0)dt=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)\delta(t_0-t)dt$$
根据这些性质，可以用$\delta(t)$来表示任意一个信号。

$e^{st}$指数信号

指数信号的重要性在与，它是线性常系数常微分方程的特征函数。所谓特征函数，就是如果信号的输出仅是输入乘一个系数，那么这个函数就是特征函数，系数就是特征值。利用特征函数，我们可以把微分方程的求解转化为代数方程的求解。

系统的描述

系统其实是两个函数之间的关系，而描述两个函数之间关系的工具就是微分方程。描述线性时不变系统的微分方程是符合初始松弛条件$(t<0,y(t)=0)$的线性常系数常微分方程。这种微分方程的解是符合线性的。学过高数知道，线性常系数常微分方程的解总是指数函数的形式。

卷积——加权积分

根据$\delta(t)$函数的位移性质和我们可以把一个信号$f(t)$表示为$\int_{-\infty}^{+\infty}f(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$的形式，即$delta$函数的加权积分或者说卷积,其实就是一个信号是由不同时间点上的值组合起来的。这样的好处就是，对于一个线性时不变系统，我们只要知道$\delta(t)$函数的作用就OK了，把$\delta(t)$函数的输出结果称为单位脉冲响应。至于最后的输出结果，只要将输入函数与单位脉冲响应做卷积就可以得出了。可以回忆一下线性时不变系统的性质，想想为什么线性时不变系统可以这样做。

将信号分解为指数信号的加权和

前面说过，指数信号是线性常系数常微分方程的特征函数，这样的函数我们很喜欢啊，处理起来只要算出它的特征值就可以了。所以我们就特别想把一个一般的函数表示成指数函数的加权和的形式。那么，是不是任意一个信号的可以这样干呢？
傅里叶说，一定可以！
傅里叶认为，对于一个周期信号$f(t)$，一定可以表示为$f(t)=\sum{a_ke^{j{\frac{2\pi}{T}}kt}}$的形式， $a_k$是关于$w_k=\frac{2\pi}{T}k$的函数。
当时，拉格朗日拉一直不认同这一点。他认为对于间断的函数就不能这样干了。但是后来，狄利克雷在数学上证明了，不连续的函数也可以表示为这种形式，只不过在间断点处收敛在左右极限的平均值处罢了。如果用复指数信号的加权和来表示一个间断的函数，会发现间断点处会有非常激烈的震荡，这就是吉布斯现象。
复指数信号$e^{jwt}$是一种周期信号，其周期为$T=\frac{2\pi}{w}$ ,$w$称为角频率。我们把一个信号表示成了复指数信号的加权和的形式，加权和的系数则是$w$的函数，那么如果我们只去关注这个系数，就可以看做把信号转换到了频域。其实，频域的意思就是去看，信号分解成复指数信号以后，复指数信号的角频率和它的模值的关系。
周期函数有了处理的方法，那么非周期函数呢？傅里叶认为，非周期函数其实就是周期为无穷大的一个周期函数。所以在傅里叶级数中，让周期趋于无穷大，就可以表示一个非周期函数了。其形式是

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(jw)e^{jwt}dw$$
可以看出，$F(jw)$是一个关于w的函数，即频率的函数。