同步于Buracag的博客;音尘杂记
线性代数2，主要回顾关于矩阵的相关知识。错误之处，还望诸君不吝指教。
1. 线性映射
**线性映射（Linear Mapping）**是指从线性空间V 到线性空间W的一个映射函数 f : V → W f : V \to W f:V→W，并满足：对于 V V V中任何两个向量 u u u和 v v v以及任何标量 c c c，有
两个有限维欧式空间的映射函数 f : R n → R m f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m f:Rn→Rm可以表示为
(1.3) y = A x ≜ [ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n ⋮ a m 1 x 1 + a m 2 x 2 + . . . + a m n x n ] , y = Ax \triangleq \begin {bmatrix} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + ... + a_{1n}x_n \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + ... + a_{2n}x_n \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + ... + a_{mn}x_n \\ \end {bmatrix}, \tag{1.3} y=Ax≜⎣⎢⎢⎢⎡a11x1+a12x2+...+a1nxna21x1+a22x2+...+a2nxn⋮am1x1+am2x2+...+amnxn⎦⎥⎥⎥⎤,(1.3)
其中 A A A定义为 m × n m × n m×n的矩阵（Matrix），是一个由 m m m行 n n n列元素排列成的矩形阵列。一个矩阵A从左上角数起的第 i i i行第 j j j列上的元素称为第 i , j i, j i,j项，通常记为 [ A ] i j 或 a i j [A]_{ij}或 a _{ij} [A]ij或aij。矩阵 A A A定义了一个从 R n \mathbb{R}^n Rn 到 R m \mathbb{R}^m Rm 的线性映射；向量 x ∈ R n x \in \mathbb{R}^n x∈Rn 和 y ∈ R m y \in \mathbb{R}^m y∈Rm 分别为两个空间中的列向量，即大小分别为 n × 1 n \times 1 n×1和 m × 1 m \times 1 m×1的矩阵。
(1.4) x = [ x 1 x 2 ⋮ x n ] , y = [ y 1 y 2 ⋮ y m ] , x =\begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \\ \end {bmatrix}, y = \begin {bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_m \\ \end {bmatrix}, \tag{1.4} x=⎣⎢⎢⎢⎡x1x2⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤
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