线性代数1-向量和向量空间

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后续几篇笔记主要想回顾整理一下需要用到的数学基础知识，主要包括了线性代数、微积分、概念论、数学优化和信息论等内容。相对比较基础，权当复习回顾完善整个知识体系结构。错误之处，还望诸君不吝指教。

1. 向量

标量（Scalar）是一个实数，只有大小，没有方向。而向量（Vector）是由一组实数组成的有序数组，同时具有大小和方向。例，一个n维向量a 是由n个有序实数组成，表示为：
$$a=[a_1,a_2,...,a_n],\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中$a_i$称为向量a的第$i$个分量，或第$i$维。向量符号通常用黑体小写字母$a,b,c$或小写希腊字母$\alpha ,\beta ,\gamma$ 等来表示。

2. 向量空间

向量空间（Vector Space），也称线性空间（Linear Space），是指由向量组成的集合，并满足以下两个条件：

• 向量加法：向量空间$V$中的两个向量a和b，它们的和a + b也属于空间$V$；

• 标量乘法：向量空间$V$中的任一向量a和任一标量$c$，它们的乘积$c\cdot a$也属于空间$V$。

欧氏空间 一个常用的线性空间是欧氏空间（Euclidean Space）。一个欧氏空间表示通常为${\mathbb{R}}^n$，其中n为空间维度（Dimension）。欧氏空间中向量的加法和标量乘法定义为：

其中$a,b,c\in \mathbb{R}$为一个标量。

线性子空间 向量空间$V$的线性子空间$U$是$V$的一个子集，并且满足向量空间的条件（向量加法和标量乘法）。

线性无关 线性空间$V$中的一组向量$v_1,v_2,...,v_n$，如果对任意的一组标量${\lambda }_1,{\lambda }_2,...,{\lambda }_n$，满足${\lambda }_1{v}_1$