AIC和BIC相关知识

同步于音尘杂记

前面在回顾sklearn时，在广义线性模型中看到选择模型时可以采用AIC和BIC准则，特地复习了下统计学基础，简记如下，以抛砖引玉。

1. 模型拟合优度检验

最基础的一个模型拟合优度的检验量就是R square(方程的确定系数)。
已知一组样本观测值 $(X_i,Y_i)$,其中i=1,2,3,…,n得到如下样本回归方程：
$$\widehat{Y_i}=\widehat{{\beta }_0}+\widehat{{\beta }_1}{X}_i$$
而Y的第i个观测值与样本均值的离差 $y_i=Y_i-\bar{Y}$，其可以分解为两部分之和：
$$y_i=Y_i-\bar{Y}=(Y_i-\widehat{Y_i})+(\widehat{Y_i}-\bar{Y})=e_i+\widehat{y_i}$$
其中 $\widehat{y_i}=(\widehat{Y_i}-\bar{Y})$是样本拟合值与观测值的平均值之差，可认为是由回归直线解释的部分，通常称之为"离差"；

$e_i=(Y_i-\widehat{Y_i})$是实际观测值与回归拟合值之差，是回归直线不能解释的部分，通常称之为"残差"。

如果 $Y_i=\widehat{Y_i}$,即实际观测值落在样本回归"线"上，则拟合最好。

对于所有样本点，可以证明：
$$\sum {y_i}^2=\sum {\widehat{y_i}}^2+\sum e_i^2+2\sum {\widehat{y_i}}^2{e}_i=\sum {\widehat{y_i}}^2+\sum e_i^2$$
记:
$TSS=\sum y_i^2=\sum (Y_i-\bar{Y}{)}^2$为总体平方和(Total Sum of Squares)
$ESS=\sum {\widehat{y_i}}^2=\sum (\widehat{Y_i}-\bar{Y}{)}^2$为回归平方和(Explained Sum of Squares, 注意有的教材又称之为Regression Sum of Squares)
$RSS=\sum e_i^2=\sum (Y_i-\widehat{Y_i}{)}^2$为残差平方和(Residual Sum of Squares, 注意有的教材又称之为Error Sum of Squares)
$$TSS=ESS+RSS$$
所以Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回归线(ESS)，另一部分则来自与随机误差(RSS)

在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此定义拟合优度：回归平方和ESS与TSS的比值。

记 $R^2=\frac{ESS}{TSS}=1-\frac{RSS}{TSS}$，称 $R^2$为(样本)可决系数/判定系数

对于回归方程来说，$R^2$有以下几个意义：

1. R square可以作为选择不同模型的标准。在拟合数据之前，不能确定数据的确定模型关系，可以对变量的不同数学形式进行拟合，再看R square的大小。
2. 在数据的关系存在非线性可能情况下：
   a) R squared越大不一定拟合越好；
   b) 如何一个模型的R square很小，不一定代表数据之间没有关系，而很有可能是选择的模型不对，或者存在有其他的函数关系。
3. 当自变量个数增加时，尽管有的自变量与的线性关系不显著，其R square也会增大，对于这种情况需采用Adjusted R squared进行调整。

2. 调整R square

由于在模型中增加变量时，$R^2$没有下降，所以存在一种过度拟合模型的内在趋势，即向模型中增加变量固然可以改善数据拟合程度，但这样也会导致预测的方差正大，这时就需要用到调整 $R^2$。
$$\overline{R_2}=1-\frac{n-1}{n-k}(1-R^2)$$
调整$R^2$用作拟合优度的度量，它能够适当消除在模型中增加变量所导致的自由度损失。

调整 $R^2$对模型扩张时自由度的损失进行了弥补，但又存在一个问题，随着样本容量的增大，这种弥补是否足以保证该准则肯定能让分析者得到正确的模型，所以提出了另外两个拟合度量指标，一个是赤池信息准则(Akaike Information Criterion, AIC)，另一个是施瓦茨或贝叶斯信息准则(Bayesian Information Criterion,BIC)。

3. AIC和BIC

$$AIC(K)=s_y^2(1-R^2)e^{2k/n}$$
$$BIC(K)=s_y^2(1-R^2)n^{k/n}$$
$s_y^2$中没有对自由度进行修正，虽然随着$R^2$的提高，这两个指标都有所改善(下降),但在其他条件不变的情况下，模型规模扩大又会使这两个指标恶化。与$\overline{R^2}$一样，实现同样的拟合程度，这些指标在平均每次观测使用参数个数(K/n)较少时更有效。使用对数通常更方便，多数统计软件报告度量指标是：
$$AIC(K)=ln(\frac{e^{\prime }e}{n})+\frac{2K}{n}$$
$$BIC(K)=ln(\frac{e^{\prime }e}{n})+\frac{Klnn}{n}$$

更一般地：
$$AIC(K)=2K-2ln(L)$$
其中k是模型参数个数，L为似然函数。从一组可供选择的模型中选择最佳模型时，通常选择AIC最小的模型。

当两个模型之间存在较大差异时，差异主要体现在似然函数项，当似然函数差异不显著时，上市第一项，即模型复杂度则起作用，从而参数个数少的模型是较好的选择。

一般而言，当模型复杂度提高(k增大)时，似然函数L也会增大，从而使AIC变小，但是k过大时，似然函数增速减缓，导致AIC增大，模型过于复杂容易造成过拟合现象。目标是选取AIC最小的模型，AIC不仅要提高模型拟合度(极大似然)，而且引入了惩罚项，使模型参数尽可能少，有助于降低过拟合的可能性。

$$BIC(K)=Klnn-2ln(L)$$
其中k是模型参数个数，n为样本数量，L为似然函数。与AIC类似地，引入了模型参数个数作为惩罚项，但是BIC的惩罚项比AIC的大，考虑了样本数量，样本数量过多时，可有效防止模型精度过高造成的模型复杂度过高；其中 $klnn$惩罚项在维度过大且训练样本数据相对较少的情况下，可以有效避免出现维度灾难现象。