神机百炼2.51-Floyd-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/buptsd/article/details/124919331

Floyd算法导图

弗洛伊德算法

本篇感想：

食用指南：

对该算法程序编写以及踩坑点很熟悉的同学可以直接跳转到代码模板查看完整代码
只有基础算法的题目会有关于该算法的原理，实现步骤，代码注意点，代码模板，代码误区的讲解
非基础算法的题目侧重题目分析，代码实现，以及必要的代码理解误区

5大最短路一图总结：

五大最短路

题目描述：

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数。
再给定 k 个询问，每个询问包含两个整数 x 和 y，表示查询从点 x 到点 y 的最短距离，如果路径不存在，则输出 impossible。
数据保证图中不存在负权回路。

输入格式
第一行包含三个整数 n,m,k。
接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。
接下来 k 行，每行包含两个整数 x,y，表示询问点 x 到点 y 的最短距离。

输出格式
共 k 行，每行输出一个整数，表示询问的结果，若询问两点间不存在路径，则输出 impossible。

数据范围
1≤n≤200,
1≤k≤n²
1≤m≤20000,
图中涉及边长绝对值均不超过 10000。

输入样例：
3 3 2
1 2 1
2 3 2
1 3 1
2 1
1 3
输出样例：
impossible
1
题目来源：https://www.acwing.com/problem/content/description/856/

题目分析：

有向图 -> 稠密图 -> 邻接矩阵
负边权 & 无负环
多次询问不同x到y的最短路径：多源最短路径->唯一算法Floyd
下面我们总结一下4大单源最短路径算法
顺便讲讲非常简单的O(n³)的Floyd算法

算法原理：

模板算法：

传送门：朴素Dijkstra
传送门：堆优化Dijkstra
传送门：bellman-ford
传送门：朴素SPFA
传送门：负环SPFA

Floyd：

1. 本质：

动态规划，dynamic programming

2. 存储形式：

邻接矩阵

不论稀疏图OR稠密图，都采用邻接矩阵
一者存储形式不影响Floyd的步骤和复杂度
二者邻接矩阵便于索引x y之间的距离
arr[x][y] = z;
表示x到y的最短距离为z

3. 初始化：

开始未存储边，则任意两点之间不连通
所以arr[N][N]都存储为无穷远，0x3f3f3f3f
除了一个点到自己本身的距离arr[x][x] = 0;

4. 三大步骤：

枚举中间点k
枚举起点i
枚举终点j
若借助经过中间点可以缩短起点终点距离，
则更新arr[i][j] = arr[i][k] + arr[k][j];

对，三层for循环外加一个公式，就是Floyd算法的全部内容
时间复杂度：严格O(n³)，毕竟三层循环每层都枚举n个图中节点

代码实现：

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 210;
const int INF = 1e9;
int n, m, k;
int d[N][N];

void init(){
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            if(i == j) d[i][j] = 0;
            else d[i][j] = INF;
}

void floyd() {
    for(int k = 1; k <= n; k++)
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            for(int j = 1; j <= n; j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

int main() {
    cin >> n >> m >> k;
    init();
    while(m--) {
        int x, y, z;
        cin >> x >> y >> z;
        d[x][y] = min(d[x][y], z);  //重边取最短
    }
    floyd();
    while(k--) {
        int x, y;
        cin >> x >> y;
        if(d[x][y] > INF/2) puts("impossible");
        else cout << d[x][y] << endl;
    }
    return 0;
}