瑞文考研算法每日一题—2023.06.03 从前序与中序遍历序列构造二叉树

Problem: 105. 从前序与中序遍历序列构造二叉树

方法一：递归

思路

先序遍历的顺序是$[根节点,[左子树],[右子树]]$

中序遍历的顺序是$[[左子树],根节点,[右子树]]$

由于二叉树的定义具有递归性质，我们可以通过递归的方式去构造二叉树。

1. 我们知道先序遍历的第一个结点是根节点，其在中序遍历的对应位置记为$index$。通过$val$去寻找值需要$O(n)$的时间复杂度，我们可以用一个哈希表$m$提前记录中序序列$inorder$中$val$所对应的$index$。
2. 当在中序序列中找到根节点后，被分为了三部分$[左子树]$,$根节点$,$[右子树]$，其中左子树和右子树可以通过递归的方式继续构造。我们知道了$左子树$和$右子树$中的节点数目，也就知道了子树对应的前序遍历对应的长度，因为一颗子树的前序遍历和中序遍历长度是相同的，我们将原问题拆分成了规模更小的子问题，递归解决。
3. 用$[pl,pr]$、$[il,ir]$分别表示前序遍历和中序遍历的区间范围，它们的初始值$pl=il=0$，$pr=ir=n-1$。当我们找到根节点后其对应左子树的中序遍历区间为：$[il,inedx-1]$，即左子树的长度为$index-1-il$，右子树的中序遍历区间为：$[index+1,ir]$。
4. 左子树对应的前序序列区间：$[pl+1,pl+1+index-1-il]$，$pl$为根节点，左子树的根节点需要后移一位，长度为中序遍历得到的左子树长度$index-1-il$。右子树对应的前序序列区间：$[pl+index-il+1,pr]$，去掉左子树和根的剩余部分即为右子树的区间。
5. 递归边界条件：当区间不存在时没有子树，即$pl>pr$时返回$\varnothing$。

Code

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode() : val(0), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
 *     TreeNode(int x, TreeNode *left, TreeNode *right) : val(x), left(left), right(right) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    TreeNode* buildTree(vector<int>& preorder, vector<int>& inorder) {
        int n = preorder.size();
        map<int, int> m;
        for(int i = 0; i < n; i++){
            m[inorder[i]] = i;
        }
        function<TreeNode*(int, int, int, int)> dfs = [&](int pl, int pr, int il, int ir) -> TreeNode*{
            if(pl > pr) return nullptr;
            TreeNode* root = new TreeNode(preorder[pl]);
            int index = m[root->val];
            root->left = dfs(pl + 1, pl + index - il, il, index - 1);
            root->right = dfs(pl + index -il + 1, pr, index + 1, ir);
            return root;
        };
        return dfs(0, n -1, 0, n -1);
    }
};

复杂度

• 时间复杂度:
  $O(n)$，其中n是节点的个数

• 空间复杂度：
  $O(n)$