算法—二分查找

概念（摘自百度）

二分查找也称折半查找（Binary Search），它是一种效率较高的查找方法。但是，折半查找要求线性表必须采用顺序存储结构，而且表中元素按关键字有序排列。

查找过程

首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

时间复杂度

O（log2n）

学习及刷题路线

推荐学习视频:二分查找又死循环了？【基础算法精讲 04】 @灵茶山艾府大佬讲得很清晰
刷题：leetcode二分查找学习计划

问题

返回有序数组中第一个>=target的位置index，如果所有数都<8，则返回数组长度。

闭区间二分查找模板1

int binarySearch(vector<int> nums, int target){
        int l = 0, r = nums.size()-1;
        while(l <= r){
            int mid = l + (r-l)/2;
            if(nums[mid] < target){
                l = mid+1;
            }else{
                r = mid-1;
            }
        }
        return l;

如何理解模板：

每次执行二分都是排除一半确认的区间
(1)首先看l和r最终会停在哪里，若假设最终停在l。此时最终l所指元素应是大于等于target，r停在l的左边，r所指元素小于target。
(2)得出循环条件：l<=r，因为假设r停在l的左边
(3)循环不变式：l的左边恒小于target，r的右边恒大于等于target。
(4)由于是闭区间，每次转移后mid应在区间中被排除，即mid+1或mid-1。
(5)判断条件：nums[mid] < target
根据循环不变式理解，若nums[mid]是小于target的，l转移后为mid+1，满足l的左边恒小于target。

其他问题转换

target范围	最终位置
>=	index(target)
>	index(target + 1)
<	index(target) - 1
<=	index(target+1) - 1

模版2

转自AcWing-yxc

bool check(int x) {/* ... */} // 检查x是否满足某种性质

// 区间[l, r]被划分成[l, mid]和[mid + 1, r]时使用：
int bsearch_1(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        if (check(mid)) r = mid;    // check()判断mid是否满足性质
        else l = mid + 1;
    }
    return l;
}
// 区间[l, r]被划分成[l, mid - 1]和[mid, r]时使用：
int bsearch_2(int l, int r)
{
    while (l < r)
    {
        int mid = l + (r-l+1)/2;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid - 1;
    }
    return l;
}