[算法 LeetCode_004] Median of Two Sorted Arrays

题目描述

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.
Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be $O(\log (m+n))$.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]
The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]
The median is (2 + 3)/2 = 2.5

算法思路

本题是求两个有序数组的中位数，最简单的想法是用两个指针遍历数组，每次寻找两个数组的最小值，总遍历 $(m+n)/2$ 次后便可以找到中位数，时间复杂度为 $O(m+n)$。

题目要求时间复杂度为 $O(\log(m+n))$，所以要思考更高效的算法。

首先思考中位数的本质，对于一系列有序数字，中位数 mid 所在的位置可以将有序数列分割为长度相等的两部分 l_part 和 r_part，即有 len(l_part) == len(r_part)，并且满足两部分中的所有数字满足 max(l_part) <= min(r_part)。

对于两个有序数组 nums1 和 nums2，长度分别为 m 和 n，算法的思路是在 nums1 中找到位置 i 上的元素，在 nums2 中找位置 j = (m+n)/2-i 上的元素，这样便可满足 (i+j) == (m+n)/2，可将两数组分为长度相等的两部分。
其中 nums1[i] 和 nums2[j] 为后半部分的最小的两个元素，(i+j) 为前半部分的长度，nums1[i-1] 和 nums2[j-1] 为前半部分的最大的两个元素。那么中位数需要同时满足:

nums1[i-1] <= nums2[j] 和 nums2[j-1] <= nums1[i]。

注意应该满足 m <= n，如此当 i >= 0 && i <= m 时，可保证 j = (m+n)/2-i 中的 j <= n && j >= 0。如果同时 n == 0，则表示两个数组都没有元素，这不是正常数据。

当某个 i 和 j 不能同时满足 nums1[i-1] <= nums2[j] 和 nums2[j-1] <= nums1[i] 时，需要考虑如何修正 i 的值。

查找 i 使用二分查找，start,end = 0,m（$(start,end]$），i = (start+end)/2，当 start <= end 时：
如果 nums1[i-1] > nums2[j]，那么需要减小 nums1[i-1] 的值，nums2[j] 的值也会随之增大，所以修正方法是 end = i-1，满足条件的 i 在前 i-1 部分。
如果 nums2[j-1] > nums1[i]，那么需要增大 nums1[i] 的值，nums2[j-1] 的值也会随之减小，所以修正方法是 start = i+1，满足条件的 i 在后 end-(i+1) 部分。

当找到满足条件的 i 和 j 之后，因为 (i+j) == (m+n)/2
如果 (m+n)%2 == 1，则中位数为

r = min(nums1[i],nums2[j]);
mid = r;

如果 (m+n)%2 == 0，则中位数应该时

l = max(nums1[i-1],nums2[j-1]);
r = min(nums1[i],nums2[j]);
mid = (l+r)/2;

现在需要考虑边界条件，即 i == 0，i == m，j == 0 和 j == n。
因为有 j = (m+n)/2-i 的约束条件，所以当 i > 0 必有 j < n，当 i < m 必有 j > 0 。故可在查找 i 的判断过程中添加相应的约束条件：

while(start<=end){
    if(i>0 && nums1[i-1]>nums2[j])
        end = i-1;
    else if(i<m && nums[j-1]>nums[i])
        start = i+1;
    else break;
}

找到满足条件的 i 和 j 之后，对于求 r 时：

// 不可能同时有 i == m && j == n
if(i == m) r = nums2[j];
else if(j == n) r = nums1[i];
else r = min(nums1[i],nums2[j]);

if((m+n)%2 == 1) return r;

对于求 l 时：

//不可能同时有 i == 0 && j == 0
if(i == 0) l = nums2[j-1];
else if(j == 0) l = nums1[i-1];
else l = max(nums1[i-1],nums2[j-1]);

return (l+r)/2.0;

这样便能够求得最终结果，算法复杂度为 $O(\log{min(m,n)})$。

参考资料

[1] https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/discuss/2481/Share-my-O(log(min(mn))-solution-with-explanation