[算法 18_001] Lucas 定理与大组合数取余

Lucas 定理

该定理是用来求当 $\binom{n}{m}$ 中的 $m,n$ 很大而 $p$ 为素数时，$\binom{n}{m}\pmod p$ 的值。
Lucas 定理：令$n=sp+q,m=tp+r.(q,r\lt p)$
那么：

$$\binom{n}{m} \equiv \binom{sp+q}{tp+r} \equiv \binom{s}{t}\binom{q}{r}\pmod p$$
则在编程时，只需继续对 $\binom{s}{t}$应用 Lucas 定理即可。代码可以递归地完成这个过程，终止条件是 $t=0$。时间复杂度为 $O(\log_p n*p)$。

大组合数取余

应用 Lucas 定理，可以将求 $\binom{n}{m}\pmod p$ 的问题转化为求$\binom{q}{r}\binom{s}{t}\pmod p$ 的问题，因为 $q,r<p$ 可对 $\binom{q}{r}\pmod p$ 直接求组合数，而对 $\binom{s}{t}\pmod p$ 递归使用 Lucas 定理求值。
而对于小组合数有：

$${q \choose r} \equiv \frac{q!}{r!(q-r)!}\pmod p$$
对于阶乘很大的情况，计算机编程时可能需要对分子分母分别取余，但是对于除法不能轻易使用同余定理（只在 $+,-,*$ 三种运算下有效），所以希望可以将除法取余转换为等价的乘法取余，这时便需要另外重要的知识：逆元以及费马小定理。

逆元

逆元定义：对于正整数 $a$ 和 $p$，如果有$ax \equiv 1 \pmod p$，那么把这个同余方程中 $x$ 的最小正整数解叫做 $a\pmod p$ 的逆元。

费马小定理

定义：假如 $p$ 是质数，且$\gcd(a,p)=1$，即 $a,p$ 互质，那么$a^{p-1}\equiv 1\pmod p$

由费马小定理可得：

$$a^{p-1}\equiv 1\pmod p \Rightarrow a^{p-2}\equiv \frac{1}{a}\pmod p$$
因此当 $a,p$互质且 $p$为素数时，有：
$$\frac{b}{a}\equiv b*a^{p-2}\pmod p$$
带入组合数公式，即有：
$$\binom{q}{r}\equiv \frac{q!}{r!(q-r)!}\equiv \bigl(q!\bigr)\bigl(r!(q-r)\bigr)^{p-2}\pmod p$$
这样便将除数求余转化为同余的乘法求余运算。
这里出现了求幂运算 $a^{p-2}$，可以使用快速求幂算法

快速求幂

//cpp
LL quickPow(LL n,LL m){
    LL ans = 1;
    n %= mod;
    while(m){
        if(m & 1)
            ans = ans * n % mod;
        n = n * n % mod;
        m >>= 1;
    }
    return ans;
}

对于求阶乘，可以使用一个全局数组缓存结果，这样就不用每次求了

阶乘

//cpp
void getFac(int n){
    fac[0]=fac[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        fac[i]=fac[i-1] * i % mod;
    }
}

下面给出求组合数和Lucas定理的代码实现

求组合数

//cpp
LL C(LL n,LL m){
    if(m>n)
        return 0;
    return fac[n]*quickPow(fac[m]*fac[n-m],mod-2) % mod;
}

Lucas 定理

//cpp
LL Lucas(LL n,LL m){
    if(m == 0)
        return 1;
    return C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod) % mod;
}

参考资料

[1] https://blog.youkuaiyun.com/wyg1997/article/details/52152282 “Lucas定理 & 逆元学习小结”
[2] https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86 “费马小定理”
[3] https://baike.baidu.com/item/lucas/4326261?fr=aladdin “Lucas 定理”