数的划分

这篇博客探讨了一个使用动态规划算法解决整数n分成k份的不同分法计数问题。通过状态转移方程`dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]`来计算不同方案数,其中`dp[i][j]`表示将整数i划分为j份的方案数。博客提供了两种不同的实现方式,并给出了具体的代码示例。

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题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16695

题目描述
将整数n分成k份,且每份不能为空,任意两个方案不能相同(不考虑顺 序)。
例如:n=7,k=3,下面三种分法被认为是相同的。
1,1,5;
1,5,1;
5,1,1;
问有多少种不同的分法。
输入:n,k ( 6 < n ≤ 200,2 ≤ k ≤ 6 )
输出:一个整数,即不同的分法。
输入描述:
两个整数 n,k ( 6 < n ≤ 200, 2 ≤ k ≤ 6 )
输出描述:
1个整数,即不同的分法。
示例1
输入

7 3
输出
4
题意:将一个数n分成k份
如果从n中拿走一个1,那么就要将n-1分成k-1份,这是k份中有1的情况
当k份中没有1的时候,那就先将k个位置上都放一个1,然后还剩i-j,将其分成k份
总的来说,状态转移方程就是dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];

还有一种说法:
定义一个数组dp[][],dp[i][j]表示将整数 i 划分为 j 份 的方案数。dp[i][j]的动态转移方程为 :
如何理解该式子呢?首先,如果拿到一个整数 i ,因为题目中要求每份不能为空,因此必须先拿出 j 个数位将 j 份分别放上1,此时剩下 i - j个数。那么剩下的数如何处理呢?可以将其全部分到一份当中(dp[i-j][1]),也可以分到两份中(dp[i-j][2]),…,也可以分到 j 份中(dp[i-j][j]),而每一种分法都是不相同的,所以可以将其全部加起来,和即为dp[i][j]。
不过这个式子看起来并不简洁,为了求得一个简洁的式子,我们再求一个dp[i-1][j-1],
比较上面两个式子可得,
这就是一个比较简洁的递推式子了,有点类似于高中数学中的裂项相消原理。
这里注意 i , j 的取值范围,i = 1~n,j = 1~ k,但是求dp[i][j]时,必须保证 i>=j(划分的份数不能超过给定的整数)。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,k,dp[305][10];
int main(){
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=200;++i)
        for(int j=1;j<=min(i,6);++j)
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
    cin >> n >> k;
    cout << dp[n][k] << endl;
}

牛客上的题解:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
int f[205][10];	
using namespace std; 
int main() 
{
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][1]=1;	//将i划分成1份肯定只有一种 
		f[i][0]=1;	//将i划分成0份肯定不存在 
	}
	for(int i=2;i<=k;i++)
	{
		f[1][i]=0;	//将1划分成i份(i>1)肯定不存在 
		f[0][i]=0;	//将0划分成i份(i>1)肯定不存在
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=2;j<=k;j++)
		{
			if(i>j)
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
			else	//i<=j的情况 
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
		}
	}
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0;
}
### 动态范围档划分的概念与实现 动态范围档划分是一种用于分类和分层的技术,通常应用于据管理和分析领域。其核心目的是根据特定的标准或规则将划分为不同的等级或类别,以便更好地进行管理和利用。 #### 1. **概念定义** 动态范围档划分是指依据一定的标准或条件,对某一范围内对象的据特性进行量化并分配到不同档次的过程。这一过程可以基于多种因素完成,例如数值大小、频率分布或其他特征参[^1]。它强调灵活性和适应性,在实际操作中可以根据具体场景调整划分策略。 #### 2. **实现方法** ##### (1)分级原则 在实施动态范围档划分前,需明确分级的原则。这包括但不限于以下几个方面: - 据的重要性及其潜在影响; - 是否涉及敏感信息(如个人隐私或商业机密); - 不同级别下据遭受破坏时可能带来的后果严重程度[^3]。 ##### (2)确定边界值 为了有效执行档划分,必须先设定清晰的界限值作为区分各档位的基础。这些阈值可以通过统计学手段得出,也可以依赖专家经验制定。例如,在某些应用场景里,采用百分位法来决定上下限是一个常见做法: ```python import numpy as np def calculate_percentiles(data, lower=0.1, upper=0.9): """ 计算给定据集中的指定百分位 """ low_val = np.percentile(data, lower * 100) high_val = np.percentile(data, upper * 100) return low_val, high_val data_points = [random.randint(1, 100) for _ in range(100)] low, high = calculate_percentiles(data_points) print(f"Lower boundary: {low}, Upper Boundary: {high}") ``` 此代码片段展示了如何利用Python库`numpy`计算一组随机整样本的低高两个百分位点位置,从而帮助确立合理的区间端点[^2]。 ##### (3)应用函映射 一旦明确了各个层次间的转换关系,则可通过建立相应的学模型来进行精确描述。假设我们希望衡量某个营销活动效果Y受到多个变量X共同作用的结果,此时便能借助回归方程等形式表达这种关联性: \[ Y=f(X_1,X_2,...,X_n)=\beta_0+\sum_{i=1}^{n}\beta_i*X_i \] 其中\( X_i\)代表各自独立的影响因子,而系项则反映了它们相对重要性的权重比例[^2]。 #### 3. **案例说明** 考虑到实际情况复杂多样,下面给出一个简单实例加以阐释:假设有家电商企业想要对其库存商品按销售热度重新整理陈列顺序。他们可以选择按照过去一年内的销量记录分成若干组别——畅销品、平销品以及滞销品三类,并据此安排货架布局优化顾客购物体验的同时提高整体营业额水平。 ---
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