数的划分

原创于 2020-10-07 21:50:30 发布 · 282 阅读

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这篇博客探讨了一个使用动态规划算法解决整数n分成k份的不同分法计数问题。通过状态转移方程`dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j]`来计算不同方案数，其中`dp[i][j]`表示将整数i划分为j份的方案数。博客提供了两种不同的实现方式，并给出了具体的代码示例。

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题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/16695

题目描述
将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两个方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种分法被认为是相同的。
1，1，5;
1，5，1;
5，1，1;
问有多少种不同的分法。
输入：n，k ( 6 < n ≤ 200，2 ≤ k ≤ 6 )
输出：一个整数，即不同的分法。
输入描述:
两个整数 n,k ( 6 < n ≤ 200， 2 ≤ k ≤ 6 )
输出描述:
1个整数，即不同的分法。
示例1
输入

7 3
输出
4
题意：将一个数n分成k份
如果从n中拿走一个1，那么就要将n-1分成k-1份，这是k份中有1的情况
当k份中没有1的时候，那就先将k个位置上都放一个1，然后还剩i-j，将其分成k份
总的来说，状态转移方程就是dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];

还有一种说法：
定义一个数组dp[][]，dp[i][j]表示将整数 i 划分为 j 份的方案数。dp[i][j]的动态转移方程为：
如何理解该式子呢？首先，如果拿到一个整数 i ，因为题目中要求每份不能为空，因此必须先拿出 j 个数位将 j 份分别放上1，此时剩下 i - j个数。那么剩下的数如何处理呢？可以将其全部分到一份当中（dp[i-j][1]），也可以分到两份中(dp[i-j][2])，…，也可以分到 j 份中(dp[i-j][j])，而每一种分法都是不相同的，所以可以将其全部加起来，和即为dp[i][j]。
不过这个式子看起来并不简洁，为了求得一个简洁的式子，我们再求一个dp[i-1][j-1]，
比较上面两个式子可得，
这就是一个比较简洁的递推式子了，有点类似于高中数学中的裂项相消原理。
这里注意 i , j 的取值范围，i = 1~n，j = 1~ k，但是求dp[i][j]时，必须保证 i>=j（划分的份数不能超过给定的整数）。

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n,k,dp[305][10];
int main(){
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=200;++i)
        for(int j=1;j<=min(i,6);++j)
            dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-j][j];
    cin >> n >> k;
    cout << dp[n][k] << endl;
}

牛客上的题解：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
int f[205][10];	
using namespace std; 
int main() 
{
	int n,k;
	scanf("%d%d",&n,&k);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		f[i][1]=1;	//将i划分成1份肯定只有一种 
		f[i][0]=1;	//将i划分成0份肯定不存在 
	}
	for(int i=2;i<=k;i++)
	{
		f[1][i]=0;	//将1划分成i份(i>1)肯定不存在 
		f[0][i]=0;	//将0划分成i份(i>1)肯定不存在
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=2;j<=k;j++)
		{
			if(i>j)
				f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-j][j];
			else	//i<=j的情况 
				f[i][j]=f[i-1][j-1];
		}
	}
	printf("%d",f[n][k]);
	return 0;
}