深度学习入门教程（五）- 线性回归与优化算法

最新推荐文章于 2025-08-02 10:34:45 发布

Brian Xia

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分类专栏：从0开始学深度学习文章标签：算法深度学习线性回归

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深度学习入门教程（五）- 线性回归与优化算法

1. 线性回归基础

1.1 简化模型

线性回归是机器学习中最基础的算法之一，用于预测连续数值。其基本形式为：

数学表达式：

y = Xw + b + ε

其中：

X：输入特征矩阵 (n×d)
w：权重向量 (d×1)
b：偏置项（标量）
ε：噪声项
y：目标值 (n×1)

实际案例：预测房价

输入特征：房屋面积(x₁)、房间数量(x₂)
模型：price = w₁×area + w₂×rooms + b
目标：找到最优的w₁、w₂、b参数

1.2 与神经网络的关系

线性回归可以看作最简单的神经网络：

单层神经网络
没有激活函数
直接线性变换

网络结构：

输入层(X) → 线性层(Xw+b) → 输出(y)

2. 求解最优参数

2.1 损失函数

采用均方误差（MSE）作为损失函数：

公式：

L(w,b) = (1/2n) Σᵢ(ŷᵢ - yᵢ)²

数值案例：
假设真实值y=[1,2,3]，预测值ŷ=[1.1,1.9,3.2]

MSE = (1/6)[(1.1-1)² + (1.9-2)² + (3.2-3)²]
    = (1/6)[0.01 + 0.01 + 0.04] 
    = 0.01

2.2 解析解（闭式解）

对于线性回归，存在解析解：

正规方程：

w* = (XᵀX)⁻¹Xᵀy

适用条件：

特征数量较少
XᵀX可逆
计算复杂度O(d³)

数值示例：

X = [[1,1], [1,2], [1,3]]  # 包含偏置项
y = [2, 4, 6]

XᵀX = [[3,6], [6,14]]
Xᵀy = [12, 28]

w = (XᵀX)⁻¹Xᵀy = [0, 2]  # b=0, w=2

3. 优化算法

3.1 梯度下降法

核心思想：沿着损失函数梯度的反方向更新参数

更新规则：

w := w - η∇w L(w,b)
b := b - η∇b L(w,b)

梯度计算：

∇w L = (1/n)Xᵀ(Xw + b - y)
∇b L = (1/n)Σᵢ(ŷᵢ - yᵢ)

数值案例：

初始：w=0, b=0, η=0.01
数据：x=2, y=4
预测：ŷ = 0×2 + 0 = 0
梯度：∇w = 2×(0-4) = -8
更新：w = 0 - 0.01×(-8) = 0.08

3.2 随机梯度下降（SGD）

特点：

每次使用单个样本更新参数
计算快，但噪声大
适合大数据集

伪代码：

for epoch in range(num_epochs):
    for i in range(n):
        随机选择样本(xᵢ, yᵢ)
        计算梯度
        更新参数

3.3 小批量随机梯度下降（Mini-batch SGD）

优势平衡：

批量大小影响收敛速度和稳定性
batch_size=1：SGD，快但不稳定
batch_size=n：批量梯度下降，稳定但慢
通常选择32、64、128等

收敛性对比：

批量大小    收敛速度    内存使用    稳定性
    1         快         低        低
   32         中         中        中
  全量        慢         高        高

4. 从零实现线性回归

4.1 生成数据集

%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l

def synthetic_data(w, b, num_examples):
    """生成 y = Xw + b + 噪声"""
    X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
    y = torch.matmul(X, w) + b
    y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)  # 添加噪声
    return X, y.reshape((-1, 1))

# 设置真实参数
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

print("特征形状:", features.shape)  # [1000, 2]
print("标签形状:", labels.shape)    # [1000, 1]
print("示例:", features[0], "→", labels[0])

输出：

特征形状: torch.Size([1000, 2])
标签形状: torch.Size([1000, 1])
示例: tensor([-1.2519, -1.9356]) → tensor([8.2824])

4.2 数据可视化

# 绘制数据分布
d2l.set_figsize()
d2l.plt.scatter(features[:, 1].detach().numpy(), 
                labels.detach().numpy(), 1)

4.3 小批量数据读取器

def data_iter(batch_size, features, labels):
    num_examples = len(features)
    indices = list(range(num_examples))
    random.shuffle(indices)  # 随机打乱索引
    
    for i in range(0, num_examples, batch_size):
        batch_indices = torch.tensor(
            indices[i:min(i + batch_size, num_examples)]
        )
        yield features[batch_indices], labels[batch_indices]

# 测试批量读取
batch_size = 10
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    print("批量特征形状:", X.shape)
    print("批量标签形状:", y.shape)
    break

4.4 完整训练过程

# 初始化参数
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2, 1), requires_grad=True)
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)

# 定义模型
def linreg(X, w, b):
    """线性回归模型"""
    return torch.matmul(X, w) + b

# 定义损失函数
def squared_loss(y_hat, y):
    """均方损失"""
    return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape)) ** 2 / 2

# 定义优化器
def sgd(params, lr, batch_size):
    """小批量随机梯度下降"""
    with torch.no_grad():
        for param in params:
            param -= lr * param.grad / batch_size
            param.grad.zero_()

# 训练参数
lr = 0.03
num_epochs = 3
net = linreg
loss = squared_loss

# 训练循环
for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
        l = loss(net(X, w, b), y)  # 计算损失
        l.sum().backward()         # 反向传播
        sgd([w, b], lr, batch_size) # 更新参数
    
    # 计算整体损失
    with torch.no_grad():
        train_l = loss(net(features, w, b), labels)
        print(f'epoch {epoch+1}, loss {float(train_l.mean()):.6f}')

# 评估结果
print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

训练输出：

epoch 1, loss 0.047041
epoch 2, loss 0.000188
epoch 3, loss 0.000048
w的估计误差: tensor([ 4.6253e-05, -1.0376e-03])
b的估计误差: tensor([0.0005])

5. 使用PyTorch框架实现

5.1 数据加载器

import torch
from torch.utils import data
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

# 生成数据
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)

def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):
    """构造PyTorch数据迭代器"""
    dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
    return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)

batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)

# 测试数据加载
print("批量数据:", next(iter(data_iter))[0].shape)

5.2 定义模型

# 使用Sequential构建网络
net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))

# 初始化参数
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)
net[0].bias.data.fill_(0)

print("网络结构:", net[0])
print("初始权重:", net[0].weight.data)
print("初始偏置:", net[0].bias.data)

5.3 损失函数和优化器

# 均方误差损失
loss = nn.MSELoss()

# SGD优化器
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.03)

5.4 训练过程

num_epochs = 3

for epoch in range(num_epochs):
    for X, y in data_iter:
        l = loss(net(X), y)    # 前向传播
        trainer.zero_grad()    # 梯度清零
        l.backward()           # 反向传播
        trainer.step()         # 参数更新
    
    # 计算整体损失
    l = loss(net(features), labels)
    print(f'epoch {epoch+1}, loss {l:.6f}')

# 检查学到的参数
w = net[0].weight.data
b = net[0].bias.data
print(f'学到的权重: {w}')
print(f'学到的偏置: {b}')
print(f'真实权重: {true_w}')
print(f'真实偏置: {true_b}')

训练输出：

epoch 1, loss 0.000225
epoch 2, loss 0.000105
epoch 3, loss 0.000105
学到的权重: tensor([[ 2.0001, -3.3996]])
学到的偏置: tensor([4.1998])

6. 实现对比总结

6.1 从零实现 vs 框架实现

方面	从零实现	PyTorch框架
代码量	多，需要手动实现各组件	少，直接调用API
可控性	高，每个细节都可控制	中，依赖框架设计
学习价值	高，理解底层原理	中，专注应用层面
开发效率	低，需要实现基础功能	高，快速原型开发
调试难度	高，需要检查每个组件	低，框架已优化