tarjan算法的详解

了解tarjan算法之前你需要知道：强连通，强连通图，强连通分量。

强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。

强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。

强连通分量(strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量。

tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。
1，DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。％每个点的时间戳都不一样％。
2，LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。
ps：每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。

而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进站，如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量里最小的。）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。

先给出tarjan算法的伪代码：
tarjan(u)
{
    DFN[u]=Low[u]=++Index//为节点u设定次序编号和Low初值
    Stack.push(u)//将节点u压入栈中
    for each(u,v) in E//枚举每一条边
        if (visnotvisted)//如果节点v未被访问过
            tarjan(v)//继续向下找
            Low[u]=min(Low[u],Low[v])
        else if (vinS)//如果节点v还在栈内
                Low[u]=min(Low[u],DFN[v])
    if (DFN[u]==Low[u])//如果节点u是强连通分量的根
    repeat{
        v=S.pop//将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
        printv
        until(u==v)
    }
}

首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。

从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1
入栈 1
由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2
入栈 1 2
之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3
入栈 1 2 3
之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4
入栈 1 2 3 6

之后发现 嗯？ 6无出度，之后判断 DFN［6］＝＝LOW［6］
说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。
栈： 1 2 3
之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］
说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。
栈： 1 2
之后退回 节点2 嗯？！往下到节点5
DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－－5
入栈 1 2 5

ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树 用红线剪掉的子树，那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。

结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。
继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。so
LOW［5］＝ 1

由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW［2］＝1；
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW［1］还是 1
1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4
DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6
入栈 1 2 5 4
由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5
说明4是5的一个子节点。

由4回到1.

回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW［1］还是 1 。

判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］
诶？！相等了    说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。
栈 ：（鬼都没有了）

这个时候就完了吗？！

你以为就完了吗？！

然而并没有完，万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！

所以。tarjan的调用最好在循环里解决。

如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。

因为这样好让每个点都被访问到。

好了，讲完了，来道例题练练手吧：

HDU1269 迷宫城堡

为了训练小希的方向感，Gardon建立了一座大城堡，里面有N个房间(N<=10000)和M条通道(M<=100000)，每个通道都是单向的，就是说若称某通道连通了A房间和B房间，只说明可以通过这个通道由A房间到达B房间，但并不说明通过它可以由B房间到达A房间。Gardon需要请你写个程序确认一下是否任意两个房间都是相互连通的，即：对于任意的i和j，至少存在一条路径可以从房间i到房间j，也存在一条路径可以从房间j到房间i。

Input

输入包含多组数据，输入的第一行有两个数：N和M，接下来的M行每行有两个数a和b，表示了一条通道可以从A房间来到B房间。文件最后以两个0结束。

Output

对于输入的每组数据，如果任意两个房间都是相互连接的，输出"Yes"，否则输出"No"。

Sample Input

3 3
1 2
2 3
3 1
3 3
1 2
2 3
3 2
0 0

Sample Output

Yes
No

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int MAXN = 10010;//点数
const int MAXE = 100010;//边数

struct Edge
{
    int to, next;
}edge[MAXE];

int head[MAXN], tot;
int Low[MAXN], DFN[MAXN], Stack[MAXN], Belong[MAXN];
int Index, top;
int scc;//强连通分量的个数
bool Instack[MAXN];
int num[MAXN];//各个强连通分量包含的节点数

void addedge(int u, int v)
{
    edge[tot].to = v;
    edge[tot].next = head[u];
    head[u] = tot++;
}

void Tarjan(int u)
{
    int v;
    Low[u] = DFN[u] = ++Index;
    Stack[top++] = u;
    Instack[u] = true;
    for(int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next)
    {
        v = edge[i].to;
        if(!DFN[v])
        {
            Tarjan(v);
            if(Low[u] > Low[v]) Low[u] = Low[v];
        }
        else if(Instack[v] && Low[u] > DFN[v])
            Low[u] = DFN[v];
    }
    if(Low[u] == DFN[u])
    {
        scc++;
        do
        {
            v = Stack[--top];
            Instack[v] = false;
            Belong[v] = scc;
            num[scc]++;
        }
        while(v != u);
    }
}

void SCC(int N)
{
    memset(DFN, 0, sizeof(DFN));
    memset(Instack, false, sizeof(Instack));
    memset(num, 0, sizeof(num));
    Index = scc = top = 0;
    for(int i = 1; i <= N; ++i)
        if(!DFN[i])
            Tarjan(i);
}

void init()
{
    tot = 0;
    memset(head, -1, sizeof(head));
}

int main()
{
    int n, m;
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF && (n || m))
    {
        init();
        int u, v;
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d", &u, &v);
            addedge(u, v);
        }
        SCC(n);
        if(scc == 1)
            printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}

另外，用tarjan算法同样可以用来求无向图的强连通分量的数量，存边时一条无向边相当于两条方向相反的有向边，然后dfs时注意不要往父节点扩展即可。