abcde/fghij=n,其中a~j为数字0~9的不重复的排列,这里的除为整除,请统计这样的组合一共有多少个?

本文介绍了一种使用C++编程语言解决数学问题的方法,通过编写一个函数来判断两个五位数之间的倍数关系,并确保它们的每一位数字都是唯一的。通过对数字的分解和比较,该程序能够有效地找出所有符合条件的整数对,展示了算法设计和数字处理技巧。

思路:
将abcde/fghij转化成a/b=n,可以知道n的取值范围(手动计算)在2-80之间,而b的取值范围在1234到b*n=98765之间,减少了循环的范围
然后再使用调用函数,判断a和b之间是否有重复的数字,如果有的话,返回0;没有返回1;返回1令总数加一,输出总数281。

#include <iostream>
using namespace std;
int judge(int a,int b)//判断是否这两个数字中有重复数字
{
    int number[10]={0};
    int number1[10]={0};
    int k=0;
    for(int i=0;i<5;i++)//逐步分解,存入数组中
    {
        k=a%10;
        number[i]=k;
        number1[k]++;
        a=a/10;
    }
    for(int i=5;i<10;i++)分解,存入·数组中
    {
        k=b%10;
        number[i]=k;
        number1[k]++;
        b=b/10;
    }
    for(int i=0;i<10;i++)
    {
        if(number1[i]>1)
            return 0;
    }
    return 1;
}
int main()
{
    int sum=0;
    for(int n=2;n<80;n++)//98765/1234=80.....,所以n的范围给出
    {
        for(int d=1234;d*n<98765;d++)//循环的范围缩小为n*d<98765
        {
            if(judge(d,n*d))
                sum++;
        }
    }
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}
<think>嗯,用户的问题是关于用C语言编写程序,找出满足abcde/fghij = n的所有重复数字排列组合。我需要先理解这个问题的具体要求。看起来用户需要找到所有五位abcdefghij,使得它们的商等于给定的n,并且这两个中的所有数字都是唯一的,从09每个数字恰好出现一次。 首先,我应该回顾用户提供的引用内容,看看有没有相关的代码或思路可以参考。引用[1]和[2]都涉及到类似的数字排列问题,特别是引用[1]中的代码使用sprintf将数字转换为字符串,然后排序检查是否有重复。这可能是一个有效的方法。引用[2]中的代码则用了一个组来存储各位数字,然后检查是否有重复,这可能也是一种可行的方法。 接下来,我需要确定如何生成所有可能的abcdefghij组合。由于abcde = fghij * n,所以对于每个可能的fghij,我们可以计算对应的abcde,然后检查这两个是否满足条件。这样可以减少循环次,因为只需要遍历fghij的可能值,然后计算abcde,而是遍历两个五位。 然后,需要考虑fghij的范围。因为abcde必须是五位,所以fghij的最小值应该是当abcde为10000时的值,即10000 / n。而最大值则是当abcde99999时的值,即99999 / n。同时,fghij本身也必须是五位,或者可能是四位,但需要补零到五位,比如01234这样的情况。过,在C语言中处理前导零可能需要特别注意,比如使用%05d格式来填充零,这样可以将四位转换为五位字符串,例如1234变成01234。 接下来是数字唯一性的检查。这里有两种方法:一种是将abcdefghij合并成一个10位的字符串,确保每个字符都是唯一的,并且覆盖了0-9的所有数字。另一种是将每个数字分解成各个位,然后存入组,检查是否有重复。 例如,引用[1]中的方法是将abcdefghij格式化为两个五位,合并成一个10字符的字符串,排序后检查是否正好是0-9的每个数字出现一次。这种方法的好处是简单,只需要排序后逐个检查字符是否按顺序排列。 而引用[2]中的方法则是将每个数字分解存入组,然后双重循环检查是否有重复。这种方法可能在效率上稍差,但逻辑更直观。 我需要比较这两种方法的优劣。排序法可能更高效,因为排序的时间复杂度是O(n log n),而双重循环是O(n²),过对于固定长度为10组来说,这两种方法的时间差别可能可以忽略计。 另外,需要考虑fghij的范围。例如,当n较大时,比如n=100,那么fghij的范围可能很小,因为abcde最多是五位,所以fghij只能是三位或更小,这时候可能需要提前终止循环。所以在代码中应该有一个条件判断,如果abcde超过五位,就停止循环。 接下来,如何处理前导零的问题。例如,当fghij是四位时,如01234,这时候使用%05d格式化可以将它转换为五位字符串,这样合并后的字符串就是abcdefghij各五位,共10位,包含所有0-9数字。例如,abcde是56789fghij01234,合并后就是5678901234,排序后是0123456789,这样就能通过检查。 接下来,代码的大致结构应该是: 1. 遍历fghij的可能值,从可能的起始值开始(比如1234,即最小五位的前导零情况)到最大值(比如当n=2时,abcde最大为99999,那么fghij最大为49999)。 2. 对于每个fghij,计算abcde = fghij * n,并检查abcde是否是五位。 3. 将abcdefghij格式化为五位字符串,合并后检查是否包含所有0-9数字重复。 4. 如果满足条件,输出结果。 此外,需要处理特殊情况,比如当n=1时,可能会出现abcdefghij相同的情况,这时候数字肯定重复,所以需要排。 还需要注意效率问题,因为五位组合的循环次可能较多,但通过合理的范围限制可以减少必要的计算。比如,当n=80时,fghij的范围只能是1234到1249左右,因为80*1250=100000,已经超过五位了,所以循环次会很少。 现在,我需要将这些思路转化为具体的代码步骤。 首先,确定fghij的起始和结束范围。起始应该是max(01234, 10000/n + 1),过具体需要根据n的值来计算。例如,当n=62时,最小的fghij是10000/62≈161,但fghij必须是至少01234这样的五位(即实际值是1234,但格式化后补零为01234),所以可能需要将fghij的最小值设为1234,然后循环到98765/n,以确保abcde超过五位。 但这里可能存在一个问题,当n较大时,比如n=80abcde = fghij * 80。例如,当fghij=1234,abcde=98720,是五位,所以有效。而当fghij=1235时,abcde=98800,可能仍有效,直到当fghij=1249时,abcde=99920,而1250*80=100000,超过五位,所以循环应该停止。 因此,循环的条件应该是fghij从1234开始,直到abcde超过五位时停止,即当fghij * n > 99999时停止。 所以,在代码中,可以设置fghij从1234开始,然后循环到某个最大值,当abcde超过99999时break。 然后,对于每个fghij,计算abcde,然后检查abcde是否是五位,即是否在1000099999之间。如果在范围内,跳过。 接下来,将abcdefghij格式化为五位字符串,使用sprintf(buff, "%05d%05d", abcde, fghij),这样即使abcdefghij足五位,也会补零。 然后检查这个buff的长度是否为10位,如果超过10位,说明abcde超过五位,需要break。例如,当n=1时,fghij=100000会导致abcde=100000,此时sprintf后的字符串是00100000100000,这显然超过10位,所以需要终止循环。 过,正确的处理方式应该是在计算abcde后,立即检查是否超过五位,如果超过则终止循环。例如: for (int fghij = 1234; ; fghij++) { int abcde = fghij * n; if (abcde > 99999) { break; } // 其他检查 } 这样可以避免处理过大的fghij值。 然后,合并后的字符串应该是10位,然后排序,检查是否每个字符都是0-9重复。例如,排序后buff应该是0123456789。 例如,对于abcde=12345,fghij=06789(即fghij=6789,补零为06789),合并后的字符串是1234506789,排序后是00123456789,这显然有重复0,所以符合条件。所以正确的例子应该是合并后的字符串正好包含0-9每个数字一次。 因此,在代码中,将buff排序后,检查每个位置是否是0-9按顺序排列: sort(buff, buff + 10); for (int i = 0; i < 10; i++) { if (buff[i] != &#39;0&#39; + i) { ok = 0; break; } } 如果所有位置都满足,则说明符合条件。 现在,将这些步骤整合到C语言代码中。例如,参考引用[1]中的代码,使用sprintf和排序的方法。 另外,需要考虑输入的n可能有多个测试用例,但用户的问题中似乎只需要处理单个n的情况。过用户提供的引用[1]中的代码处理了多个n的情况,但用户当前的问题可能只需要处理单个n。 此外,输出时需要补零,比如printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n);。 最后,如果没有找到符合条件的解,输出相应提示。 现在,我需要确保代码的正确性。例如,当n=62时,已知存在解:79546 / 01283 = 62。这里,abcde=79546,fghij=01283,合并后的数字是7 9 5 4 6 0 1 2 8 3,排序后是0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,符合条件。 因此,代码应该能正确生成这样的结果。 另外,需要注意fghij的取值范围是否包括前导零的情况,比如01234对应的值是1234,但在循环中,fghij从1234开始,这样当使用%05d格式化时,会生成01234这样的字符串,但值是1234。所以循环中的fghij应该从01234(即值1234)开始,到最大可能的fghij值,即当abcde = fghij * n <= 99999时的最大值。 例如,当n=62时,最大的fghij是floor(99999 / 62) = 1612,但此时abcde=1612*62=99944,符合条件。但fghij=1612只有四位,格式化后是01612,合并后的字符串是9994401612,排序后为0011244669,显然符合,所以需要找到正确的fghij值。 可能我的例子中的正确解是fghij=01283,即值1283,所以循环应该从1234开始,到floor(99999/62)=1612,所以1283在这个范围内。 所以,循环变量fghij的初始值应该是1234,然后递增到99999//n,当n=62时是1612,所以循环到1612为止。但这样可能会漏掉某些四位的情况,比如fghij=01234,即值1234,这在循环中被包括在内,因为fghij从1234开始。 因此,代码中的循环变量应该从1234开始,直到fghij * n > 99999时终止。 现在,编写代码的大致结构: #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> int main() { int n; scanf("%d", &n); int found = 0; for (int fghij = 1234; ; fghij++) { int abcde = fghij * n; if (abcde > 99999) { break; } char buff[11]; // 10 digits + null terminator sprintf(buff, "%05d%05d", abcde, fghij); if (strlen(buff) != 10) { continue; // 应该会发生,因为abcdefghij都是五位格式化 } // 检查是否有重复数字 int digits[10] = {0}; int valid = 1; for (int i = 0; i < 10; i++) { char c = buff[i]; if (c < &#39;0&#39; || c > &#39;9&#39;) { valid = 0; break; } int digit = c - &#39;0&#39;; if (digits[digit]) { valid = 0; break; } digits[digit] = 1; } if (valid) { printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n); found++; } } if (!found) { printf("There are no solutions for %d.\n", n); } return 0; } 过,这里可能存在一个问题:当fghij值小于10000时,sprintf会将其格式化为五位,例如1234会被格式化为01234,这样合并后的字符串是abcde(五位)和fghij(五位补零后的),共10位,每个数字唯一。 此外,检查每个字符是否都是数字,并且每个数字恰好出现一次。这样应该可以正确判断。 过,另一种方法是使用排序后的字符串是否为"0123456789"。例如,在引用[1]中的代码使用排序后逐个比较: sort(buff, buff+10); for (int i = 0; i < 10; i++) { if (buff[i] != &#39;0&#39; + i) { ok = 0; break; } } 这种方法可能更高效,因为排序后直接比较,需要额外的组。 但需要注意,sprintf后的buff是字符组,例如,对于abcde=79546和fghij=1283,格式化后是"7954601283",排序后变成"0123456789",所以符合条件。 因此,可以修改代码如下: #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> // 需要包含algorithm头文件,并使用C++的sort函,但用户要求使用C语言。 哦,这里出现了一个问题。用户要求用C语言,而sort函是C++的,所以在C语言中无法直接使用。因此,必须改用其他方法进行排序,或者使用qsort函。 例如,修改代码: #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> int compare(const void *a, const void *b) { return (*(char *)a - *(char *)b); } int main() { int n; scanf("%d", &n); int found = 0; for (int fghij = 1234; ; fghij++) { int abcde = fghij * n; if (abcde > 99999) { break; } char buff[11]; // 10 digits + &#39;\0&#39; sprintf(buff, "%05d%05d", abcde, fghij); if (strlen(buff) != 10) { continue; } qsort(buff, 10, sizeof(char), compare); int ok = 1; for (int i = 0; i < 10; i++) { if (buff[i] != &#39;0&#39; + i) { ok = 0; break; } } if (ok) { printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n); found++; } } if (!found) { printf("There are no solutions for %d.\n", n); } return 0; } 过,这里需要注意的是,C语言中的qsort函需要正确的比较函。compare函应该返回正确的排序结果。对于字符组来说,这样的比较是正确的,会将字符按ASCII码排序,即&#39;0&#39;到&#39;9&#39;的顺序。 测试这个代码,当输入n=62时,是否能输出正确的解: abcde = 79546,fghij=1283,所以n=62。合并后的字符串是795461283,但格式化后应该是%05d%05d,即abcde是79546,fghij01283(即1283格式化补零),所以合并后的字符串是7954601283。排序后应为0123456789,所以代码应该能正确识别这个情况。 这样,代码就能正确输出符合条件的解。 最后,需要处理输入输出的格式,例如两个解之间是否有空行,但根据用户的问题,可能需要,只需要按行输出每个解即可。</think>要找出所有满足 $abcde/fghij=n$ 且所有数字重复的五位组合,可以通过以下步骤实现: ### 实现思路 1. **学关系转换**:将问题转化为 $abcde = fghij \times n$,其中 $abcde$ 和 $fghij$ 均为五位允许 $fghij$ 前补零)。 2. **范围约束**:遍历 $fghij$ 的取值,从 $01234$(即值 $1234$)开始,直到 $abcde$ 超过五位时终止。 3. **唯一性验证**:将 $abcde$ 和 $fghij$ 格式化为 10 位字符串,排序后检查是否恰好包含 $0-9$ 的所有数字。 4. **格式化输出**:使用 `%05d` 格式补零,确保输出为五位。 ### 代码实现 ```c #include <stdio.h> #include <string.h> #include <stdlib.h> int compare(const void *a, const void *b) { return (*(char *)a - *(char *)b); } void find_combinations(int n) { int found = 0; for (int fghij = 1234; ; fghij++) { int abcde = fghij * n; if (abcde > 99999) break; // 超出五位范围 char buffer[11]; sprintf(buffer, "%05d%05d", abcde, fghij); if (strlen(buffer) != 10) continue; // 确保总长度10位 // 检查是否包含0-9且无重复 qsort(buffer, 10, sizeof(char), compare); int valid = 1; for (int i = 0; i < 10; i++) { if (buffer[i] != &#39;0&#39; + i) { valid = 0; break; } } if (valid) { printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n); found++; } } if (!found) { printf("No solutions for %d.\n", n); } } int main() { int n; scanf("%d", &n); find_combinations(n); return 0; } ``` ### 示例输出 当输入 $n=62$ 时,程序会输出: ``` 79546 / 01283 = 62 ``` ### 关键逻辑说明 1. **范围遍历**:$fghij$ 从 $1234$ 开始,保证其补零后为五位。 2. **数字唯一性**:通过格式化字符串和快速排序(`qsort`)验证所有数字唯一。 3. **性能优化**:直接通过学关系缩小遍历范围,避免暴力枚举全部组合[^1][^2]。 ---
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