Algorithm introduction

基本的算法技巧

• 分治（Divide-and-conquer）：首先从一个smallest问题出发，观察原始问题是否能分解成smaller子问题。
• 智能枚举（“Intelligent” Enumeration）：考虑一个最优化问题，如果它的解能够被一步一步的构造出来，可以通过构造一棵partial solution tree枚举所有可能的complete solution。由于搜索树太大，需要剪枝。
• 不断改进（Improvement）：从一个initial complete solution，一步一步improve。

gcd(a,b)

已知a>b,当b=0时，gcd(a,b)=a,原问题可以通过gcd(a,b)=gcd(b,a%b)…gcd(x,0)化成smallest问题。通过迭代2n次可以得到smallest problem，n为a的bits，因为每次a%b<$\frac{a}{2}$

TSP

从城市1出发遍历所有城市回到城市1

trial 1：Divide-and-conquer strategy

定义一个子问题M(S，e)表示从城市1出发遍历S集合中所有的城市最后在e城市结束的最短距离，则原问题可以表示为M(S,e)+$d_{e1}$

trial 2：Improvement strategy

其中neighborhood的一种定义为：在$s^{'}$中只有2条边与s不同。

trial 3：“Intelligent” enumeration strategy

若解为边大小(m)的集合，1表示该边被选中。原问题可表示为长m的array。按序枚举每条边是否选择得出complete solution。

• 枚举all：在枚举的过程中不需要枚举m高的树，可以在一定选择的基础上通过推断得出其他的选择。

  

• branch-and-bound：

  
  一种可行的lower bound为定义所有点出发的最小的两条边加和的一半
  在枚举所有解的方法中也可以按照点到点之间的边枚举(ab,ac,ad,abc,abd,…)