【原创】实现全排列

 

（转载请标注作者姓名，也不要直接用我的文章发paper）

http://student.youkuaiyun.com/space.php?uid=32341&do=blog&id=3705

 

相关信息见这个帖子。不过付兄使用的是库函数。我懒得去看库函数了。今天放我的两个方法，第二个方法Java编程实现。

题目是输入数字n实现1到n的全排列 比如n=2则输出 12   21

方法0，见《组合数学》老外的教材

用递推法。第1层 1

第二层    （1空）1（2空）

空里面就是“二”的位置，

在空里面输入数字2

第三层（1空）1（2空）2（3空）                             （1空）2（2空）1（3空）

空里面就是“三”的位置以此类推

方法1，使用循环移位

比如123456循环左移1位就是  234561  再左移两位就是 456123

这个方法可以只在头处加上第n个数。一样是递推的方法，从第1层开始一直到第n层。

我懒。上面两个方法都没有编程实现。现在说第三个方法

数学方法：

理论：线性代数里面有个关于逆序数的说明。说了一下没有了。可能是我用的教材版本太低了吧。

初始行列式每行都是1到n每列都一样。比如6吧

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

接下来展开行列式。不过不是行列式运算而是新的运算规则。从上往下开始按列展开比如

a11和A11（a11的代数余子式）

1和

23456

23456

23456

23456

23456

a21和A21比如

2和

13456

13456

13456

13456

13456

接下来每一项都要运算。那么ai1和Ai1一共有6个要运算的。运算方法很简单就是放到那里比如第一个'1'(A11)  // '1'表示数字

对代数余子式继续按照行列式展开的方法从上到下依次展开，运算就OK了。运算和结果放到那里输出。

下面给出数学证明。

假设是n0个数

1.......n0

1.......n0

.......

1.......n0

第一次有n0个数参与运算。所以第一次每个数字都运算了。

然后是代数余子式。这个定义是去掉aij所在的行（往下运算了），去掉所在的列（以后这个数都遇不上了）

继续算。所以每个数字都参与了运算。这个不包含正副号，都是正的，毕竟不是行列式。

再举个例子加深影响。n=3

 

行列式

123

123

123

a11是1                        a12是2          a13是3

A11是                          A12是            A13是

23                                13                   12

23                                13                   12

就是‘1’A11         '2'A12     '3'A13三项

继续

23

23展开就是   '2'和新A12 '3'和新A13 

结果是23  和32   和‘1’运算这个结果就是123   132

剩下的一样。数学方法完毕。

这个编程太麻烦了代数余子式咋表示？都是二维数组我很懒。估计要用n*n*n的空间。中间结果都要记录下来，还要标记和调试。复杂。数学方法舍弃。

观察行列式

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

选取一个数比如3

      3

1 2   4 5 6

1 2   4 5 6

1 2   4 5 6

1 2   4 5 6

接下来运算，最开始的想法是从3开始要么朝左运动，要么朝右（选数）。每个节点只访问一遍。有没有想起二叉树输出先序中序和后序的代码。这个也复杂。要么线索化要么用栈。 头疼。

直接使用广度优先搜索。仿照那个最小生成树的两个算法和自己改进的深度优先算法（未公开）。直接一个已运算数组，一个未运算数组保存每个值。代码如下：

http://student.youkuaiyun.com/space.php?uid=32341&do=blog&id=3705

相关信息见这个帖子。不过付兄使用的是库函数。我懒得去看库函数了。今天先放方法。

题目是输入数字n实现1到n的全排列  比如n=2则输出 12   21

方法0，见《组合数学》老外的教材

用递推法。第1层 1

第二层    （1空）1（2空）

空里面就是“二”的位置，

在空里面输入数字2

第三层（1空）1（2空）2（3空）                             （1空）2（2空）1（3空）

空里面就是“三”的位置以此类推

方法1，使用循环移位

比如123456循环左移1位就是  234561  再左移两位就是 456123

这个方法可以只在头处加上第n个数。一样是递推的方法，从第1层开始一直到第n层。

我懒。上面两个方法都没有编程实现。现在说第三个方法

数学方法：

理论：线性代数里面有个关于逆序数的说明。说了一下没有了。可能是我用的教材版本太低了吧。

初始行列式每行都是1到n每列都一样。比如6吧

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

接下来展开行列式。不过不是行列式运算而是新的运算规则。从上往下开始按列展开比如

a11和A11（a11的代数余子式）

1和

23456

23456

23456

23456

23456

a21和A21比如

2和

13456

13456

13456

13456

13456

接下来每一项都要运算。那么ai1和Ai1一共有6个要运算的。运算方法很简单就是放到那里比如第一个'1'(A11)  // '1'表示数字

对代数余子式继续按照行列式展开的方法从上到下依次展开，运算就OK了。运算和结果放到那里输出。

 

下面给出数学证明。

假设是n0个数

1.......n0

1.......n0

.......

1.......n0

第一次有n0个数参与运算。所以第一次每个数字都运算了。

然后是代数余子式。这个定义是去掉aij所在的行（往下运算了），去掉所在的列（以后这个数都遇不上了）

继续算。所以每个数字都参与了运算。这个不包含正副号，都是正的，毕竟不是行列式。

再举个例子加深影响。n=3

 

行列式

123

123

123

a11是1                        a12是2          a13是3

A11是                          A12是            A13是

23                                13                   12

23                                13                   12

就是‘1’A11         '2'A12     '3'A13三项

继续

23

23展开就是   '2'和A12 '3'和A12 

结果是23  和32   和‘1’运算这个结果就是123   132

剩下的一样。数学方法完毕。

这个编程太麻烦了代数余子式咋表示？都是二维数组我很懒。估计要用n*n*n的空间。中间结果都要记录下来，还要标记和调试。复杂。数学方法舍弃。

观察行列式

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

选取一个数比如3

      3

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

Code:

1. public class quanpailie {   
2.   
3.     /**  
4.      * @param args  
5.      */  
6.     //全排列函数，支持数字输入和字符 输入   
7. //这个是字符串的前面是使用过的字母串，后面是未使用的。   
8.     public  void quanpailie(String usingstr,String unusestr,int n){   
9.   
10.         char a[]=unusestr.toCharArray();   
11.         //终止部分   
12. //递归结束的部分   
13.         if(usingstr.length()==n-1)   
14.         {   
15.             usingstr+=a[0];   
16.         //输出结果,采用打印的方式   
17.         //System.out.print(usingstr+"/t");   
18.         }   
19.            
20.   
21.         //递归部分   
22.         for(int i=0;i<a.length;i++){   
23.             String newusingstr=usingstr+a[i];   
24.             String newunusestr="";   
25.             for(int j=0;j<a.length;j++)   
26.             {   
27.                 if(i==j)continue;   
28.                 newunusestr+=a[j];   
29.             }   
30.                
31.             quanpailie(newusingstr,newunusestr,n);   
32.         }   
33.     }   
34.        
35. /*好吧我承认刚才使用了字符串的库函数。这个是只支持数组的。稍微改一下在C语言中也能运行。参数分别是数组和数组长度。数组分别是使用的和未使用的,最后一个是总长。其实可以不要的- -b  */  
36.     public void fastquanpailie(char using[],int uslength,char unuse[],int unuslength,int n){   
37. //已使用的字符串长度加1   
38.         char newusing[] =new char[uslength+1];   
39.            
40.         for(int i=0;i<uslength;i++)   
41.             newusing[i]=using[i];//新数组中写入原数组的值   
42.         if(n-1==uslength){   
43.             newusing[uslength]=unuse[0];//最后位置写入最后一个字母   
44.                
45.             //输出结果   
46.             for(int i=0;i<newusing.length;i++)   
47.                 System.out.print(newusing[i]);   
48.                
49.             System.out.print("/t");//为了好看   
50.         }   
51.         //递归部分   
52.         for(int i=0;i<unuslength;i++){   
53.             //初始化   
54.             char newunuse[] =new char[unuslength-1];   
55.             newusing[uslength]=unuse[i];//新一位写入新数组最后   
56.             for(int j=0,k=0;j<newunuse.length;)//处理老数组   
57.             {    
58.                 if(i==j){k++;}   
59.                 newunuse[j]=unuse[k];   
60.                 k++;j++;   
61.             }   
62.             fastquanpailie(newusing,uslength+1,newunuse,unuslength-1,n);   
63.         }   
64.     }   
65.        
66.     //辅助输入的方法。把原始输入转化成函数可以识别的输入   
67.     public void inputmode(String str){   
68.         char a[]=str.toCharArray();   
69.         int strlength=a.length;   
70.         quanpailie("",str,strlength);   
71.     }   
72.     public void fastinputmode(char array[],int length){   
73.   
74.            
75.         fastquanpailie(null,0,array,length,length);   
76.     }   
77.     //数字输入辅助   
78.     public  void Noinputs(int n){   
79.         String str="";   
80.         for(int i=1;i<=n;i++){   
81.             str+=i;   
82.         }   
83.         inputmode(str);   
84.     }   
85.     //字母输入辅助,比如输入1输出a输入2输出ab   
86.     public  void letterinputs(int n){   
87.         char letterarray[]={'a','b','c','d','e','f','g','h','i','j','k','l','m','n',   
88.                 'o','p','q','r','s','t','u','v','w','x','y','z'};   
89.         String str="";   
90.         for(int i=0;i<n;i++){   
91.             str+=letterarray[i];   
92.         }   
93.         inputmode(str);   
94.     }   
95.     public  void letterinputs1(int n){   
96.         char letterarray[]={'a','b','c','d','e','f','g','h','i','j','k','l','m','n',   
97.                 'o','p','q','r','s','t','u','v','w','x','y','z'};   
98.   
99.         fastinputmode(letterarray,n);   
100.     }   
101.     public static void main(String[] args) {   
102.   
103.         System.out.println("这个是字母输入");   
104.         long starttime=System.currentTimeMillis();   
105.            
106.         quanpailie a=new quanpailie();   
107.         //a.letterinputs(12);   
108.         a.letterinputs1(6);   
109.         long endtime=System.currentTimeMillis();   
110.         System.out.println();   
111.         System.out.println( "用时"+(endtime-starttime));   
112.     }   
113.   
114. }  

最后还是使用了库函数System.out.print()这个不让用你就看不到结果了。一共有两个方法。分别是数字输出和字母输出。数字的一位就是一个数字。1到9都没问题。10怎么办？用字母输出。a对应1z对应26.这样n小于等于26都没问题。

程序复杂度N*N 空间复杂度N*N而且是递归函数。所以实际上n=8都是一秒以内。到了9就很慢了。到了10 编译器eclipse无法响应。在cmd下编译运行都没问题。可以到12.到14的时候我没耐心了。实际上调用System.gc()好像速度更慢了。不知道以前的对象生命周期是咋结束的。

完