【三分】HDU3756 Dome of Circus

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三分

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本文探讨了利用三分法优化圆锥体积计算的过程，通过枚举半径并计算包含每个点的圆锥最小高度，从而找到最大体积对应的半径。重点介绍了初始半径范围的设定以及输入输出部分如何避免cin和cout导致的超时问题，采用printf和scanf进行高效IO操作。

假设我们枚举一个半径 $r$ ，那么分别考虑包含进每个点圆锥的最小高度 $h_0,h_1,\dots,h_{n-1}$ ，显然此时如果半径为 $r$ ，圆锥高度应为 ${max}_{i=0}^{n-1}\ h_i$ ，简单推算一下公式，可以发现体积关于半径是个凹函数，于是三分半径即可。
注意初始的半径范围，上限自然可以随便设置一个较大值，但下限需要稍加考虑。设 $d i = x i 2 + y i 2 - - - - - - - \sqrt$ ${d}_i=\sqrt{{x_i}^2+{y_i}^2}$ 那么 $r$ 应满足 $r > m a x {d i}, 0 \leq i < n$ $r\gt max\{{d}_i\},0\le i\lt n$
输入输出部分，即使ios::sync_with_stdio(false)也无法避免cin和cout的超时问题，所以似乎必须用printf和scanf来 $IO$ 。

/* **********************************************

    File Name: 3756.cpp

    Auther: zhengdongjian@tju.edu.cn

    Created Time: 2015/9/9 星期三 下午 7:07:06

*********************************************** */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
typedef pair<int, int> P;
const double EPS = 1e-4;
const double INF = (double)INT_MAX;
const int MAX = 10007;
struct Pos {
    double x, y, z;
} a[MAX];
int n;

istream& operator>>(istream& in, Pos& p) {
    in >> p.x >> p.y >> p.z;
    return in;
}

pair<double, double> gao(double r) {
    double h = 0.0;
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        double dis = a[i].x * a[i].x + a[i].y * a[i].y;
        dis = sqrt(dis);
        //printf("dis = %f\n", dis);
        //getchar();
        double tp = a[i].z / (r - dis) * dis + a[i].z;
        if (tp > h) h = tp;
    }
    return make_pair(h, r * r * h);
}

pair<double, double> cut(double le, double ri) {
    double md, mdmd;
    while (ri - le > EPS) {
        //printf("le = %f, ri = %f\n", le, ri);
        md = (le + ri) * 0.5;
        mdmd = (md + ri) * 0.5;
        if (gao(mdmd).second > gao(md).second) {
            ri = mdmd;
        } else {
            le = md;
        }
    }
    //printf("le = %f, ri = %f\n", le, ri);
    return make_pair(gao(le).first, le);
}

int main() {
    int T;
    scanf(" %d", &T);
    while (T--) {
        scanf(" %d", &n);
        double mindis = 0.0;
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            scanf(" %lf %lf %lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z);
            mindis = min(mindis, sqrt(a[i].x * a[i].x + a[i].y * a[i].y));
        }
        //auto res = make_pair(0.0, 0.0);
        auto res = cut(mindis + EPS, 100000.0);
        printf("%.3f %.3f\n", res.first + EPS, res.second + EPS);
    }
    return 0;
}