1、集合与运算

集合

集合：具有某种特定性质的事物的总体
　　　组成这个集合的事物称为该集合的元素
　　　
a∈M：表示元素a属于集合M
a∉M：表示元素a不属于集合M

集合的两种表示方法：
1、 列举法
A = { a 1 ， a 2 ， a 3 ， a 4 ， . . . . . . ， a n } A= \lbrace a_1，a_2，a_3，a_4，......，a_n \rbrace A={a1​，a2​，a3​，a4​，......，an​}
2、 描述法
M = { x ∣ x 所 具 有 的 性 质 P } M= \lbrace x|x所具有的性质P \rbrace M={x∣x所具有的性质P}

例子:
B = { x ∣ x ∈ R , x 2 − 1 = 0 } ⟹ B = { 1 , − 1 } B=\lbrace x|x\in R,x^2-1=0 \rbrace \Longrightarrow B=\lbrace 1,-1 \rbrace B={x∣x∈R,x2−1=0}⟹B={1,−1}

数集的分类：
N ---- 自然数集 N = { 0 , 1 , 2 , . . . , n , . . . } N=\lbrace 0,1,2,...,n,... \rbrace N={0,1,2,...,n,...}
Z ---- 整数集 Z = { . . . , − n , . . . , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , . . . , n , . . . } Z=\lbrace ...,-n,...,-2,-1,0,1,2,...,n,... \rbrace Z={...,−n,...,−2,−1,0,1,2,...,n,...}
Q ---- 有理数集 Q = { p q ∣ p ∈ Z , q ∈ N + 且 p ， q 互 质 } Q=\lbrace \frac{p}{q}|p \in Z,q \in N^+且p，q互质 \rbrace Q={qp​∣p∈Z,q∈N+且p，q互质}
（其中$N^{+}$是正整数集）即1,2,3,4,…,n.,…
R ---- 实数集 R = { x ∣ x 是 有 理 数 或 者 无 理 数 } R=\lbrace x|x是有理数或者无理数 \rbrace R={x∣x是有理数或者无理数}

子集：若x∈A，则必x∈B，就说A是B的子集，记作A$\subset$B
数集间的关系：N$\subset$Z，Z$\subset$Q，Q$\subset$R

集合相等：若A$\subset$B，且B$\subset$A，就称为集合A与B相等
例子 A = { 1 , 2 } , B = { x ∣ x 2 − 3 x + 2 = 0 } A=\lbrace 1,2 \rbrace,B=\lbrace x|x^2-3x+2=0 \rbrace A={1,2},B={x∣x2−3x+2=0}，则A=B

空集 ： 不含任何元素的集合称为空集，记作$\varphi$
例子 A = { x ∣ x ∈ R ， x 2 + 1 = 0 } A=\lbrace x|x∈R，x^2+1=0 \rbrace A={x∣x∈R，x2+1=0}=$\varphi$
规定 空集是任何集合的子集

集合的运算

并集：设A和B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记做A∪B，即 A∪B={x|x∈A或x∈B}

交集：设A和B是两个集合，由所有属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集，记做A∩B，即 A∩B={x|x∈A且x∈B}

差集：设A和B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集，记做A\B，即 A\B={x|x∈A且x∉B}

全集和补集
全集：我们研究某个问题限定在一个大的集合A中进行，所研究的其他集合B都是A的子集，我们称集合A为全集。
补集：A/B为B的补集，记做$B^c$
例子： A = { x ∣ 0 &lt; x ≤ 1 } A=\lbrace x|0&lt;x \leq 1 \rbrace A={x∣0<x≤1}的补集是 A c = { x ∣ x ≤ 0 或 x &gt; 1 } A^c=\lbrace x|x \leq 0 或 x&gt;1\rbrace Ac={x∣x≤0或x>1}

区间

区间：指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。

$\forall a,b\in R，且a<b$ （其中$\forall$符号为任意的意思）
{ x ∣ a &lt; x &lt; b } \lbrace x|a&lt;x&lt;b \rbrace {x∣a<x<b},称为开区间，记作(a,b)

{ x ∣ a ≤ x ≤ b } \lbrace x|a \leq x \leq b \rbrace {x∣a≤x≤b},称为闭区间，记作[a,b]

{ x ∣ a ≤ x &lt; b } \lbrace x|a \leq x &lt; b \rbrace {x∣a≤x<b},称为半开区间，记作[a,b)

{ x ∣ a &lt; x ≤ b } \lbrace x|a &lt; x \leq b \rbrace {x∣a<x≤b},称为半开区间，记作(a,b]

无限区间
[ a , + ∞ ) = { x ∣ a ≤ x } [a,+\infty)= \lbrace x|a \leq x \rbrace [a,+∞)={x∣a≤x} ( − ∞ , b ) = { x ∣ x &lt; b } (-\infty,b)= \lbrace x|x &lt; b \rbrace (−∞,b)={x∣x<b}

注：全体实数的集合R可以记作$(-\infty ,+\infty )$

邻域

邻域：设$\delta$是任一正数，则开区间$(a-\delta ,a+\delta )$就是a的一个邻域，这个邻域称为点a的$\delta$邻域，记作$U(a,\delta )$，即 U ( a , δ ) = { x ∣ a − δ &lt; x &lt; a + δ } U(a,\delta)=\lbrace x|a-\delta&lt;x&lt;a+\delta \rbrace U(a,δ)={x∣a−δ<x<a+δ}
点a称为这邻域的中心，$\delta$称为这个邻域的半径。

进一步剖析：
由于
$a-\delta <x<a+\delta ⟺|x-a|<\delta$
因此
U ( a , δ ) = { x ∣ a − δ &lt; x &lt; a + δ } U(a,\delta)=\lbrace x|a-\delta&lt;x&lt;a+\delta \rbrace U(a,δ)={x∣a−δ<x<a+δ}$⟺$ U ( a , δ ) = { x ∣ ∣ x − a ∣ &lt; δ } U(a,\delta)=\lbrace x||x-a|&lt;\delta \rbrace U(a,δ)={x∣∣x−a∣<δ}

$U(a,\delta )$表示与点a的距离小于$\delta$的一切$x$的全体

• 去心邻域： U δ ( a ) = { x ∣ 0 &lt; ∣ x − a ∣ &lt; δ } U_\delta(a)=\lbrace x|0&lt;|x-a|&lt;\delta \rbrace Uδ​(a)={x∣0<∣x−a∣<δ}
• 左$\delta$邻域：$(a-\delta ,a)$
• 右$\delta$邻域：$(a,a+\delta )$

机器学习中集合的应用

• 实例的集合
• 候选假设的集合
• 训练样例的集合

后续介绍******