Spiking Jelly中LIF神经元无输入时阈下神经动力学方程的推导

在Spiking Jelly中，无输入时阈下神经动力学模型为：
$$H_t=V_{t-1}-\frac{1}{\tau }(V_{t-1}-V_{reset})$$
根据A. N. Burkitt在2006年的综述，LIF神经元的标准形式为：
$$C_m\frac{dv(t)}{dt}=I_{leak}(t)+I_s(t)+I_{inj}(t)$$
其中Leaky Current 的方程为：
$$I_{leak}(t)=-\frac{C_m}{{\tau }_m}[v(t)-V_0]$$
这里面的$V_0$即为Resting Potential，即SpikingJelly方程中的$V_{reset}$。由于不考虑输入，忽略第一个方程中右侧后两项电流，并约去$C_m$，得到：
$$\frac{dv(t)}{dt}=-\frac{1}{{\tau }_m}[v(t)-V_0]$$
改写为差分方程形式：
$$v_t-v_{t-1}=-\frac{1}{{\tau }_m}[v_t-V_0]$$
整理得到：
$$v_t=\frac{{\tau }_m}{{\tau }_m+1}{v}_{t-1}+\frac{1}{{\tau }_m+1}{V}_0$$
即：
$$v_t=v_{t-1}-\frac{1}{{\tau }_m+1}(v_t-V_0)$$
这时将${\tau }_m+1$改写成$\tau$，即可得到原方程。