手把手教你玩转 NSGA-III 算法：Python 实现与超详细解读！

目录

初识 NSGA-III：多目标优化的“神器”

深入 NSGA-III 算法原理

算法核心流程

参考点与参考方向

NSGA-III 算法简介

Python 实现

1. 导入基础库

2. 个体类

3. 初始化种群

4. 非支配排序

5. 拥挤度计算

6. 参考方向生成

7. 关联参考方向

8. 选择、交叉、变异

9. 主算法

10. 测试问题

11. 可视化结果

深度解析

1. 关键代码解析

非支配排序

拥挤度计算​​​​​​​

参考方向关联​​​​​​​

2. 算法流程图

3. 算法性能分析

总结

注：完整代码在我第一篇博客

今天，我要给大家介绍一个多目标优化算法界的 “超级巨星” ——NSGA-III（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm III）！这个算法真的非常厉害，它不仅能在多个目标之间找到最优解，还能优雅地处理复杂的多目标优化问题。要是你还不知道它，那可就太 “out” 了！今天，我就带大家深入了解 NSGA-III 算法，并用 Python 实现它，保证让你一看就懂！

初识 NSGA-III：多目标优化的“神器”

首先，咱们先来说说 NSGA-III 为啥这么牛。在现实生活中，很多问题都涉及到多目标优化，比如设计一辆汽车，既要追求高速度，又要保证低油耗，还要考虑成本。这时候，我们可能需要权衡这些目标，找到一个折中的最优解。NSGA-III 就是专门用来解决这种多目标优化问题的。

传统的单目标优化算法，比如梯度下降法，只能处理一个目标。而 NSGA-III 可以同时处理多个目标，通过模拟自然选择和遗传进化的过程，逐步逼近最优解。而且，NSGA-III 还引入了参考点和参考方向的概念，使得优化过程更加高效和稳定。

深入 NSGA-III 算法原理

算法核心流程

那 NSGA-III 算法到底是怎么运行的呢？咱们来一步步分解：

1. 初始化种群：首先，我们需要随机生成一批解作为初始种群。这就像一群种子，我们将要通过算法的培育，让这些种子成长为最优解。

2. 非支配排序：在多目标优化中，没有一个解一定比其他解好，因此，我们需要对解进行非支配排序。简单来说，就是把解按照它们的好坏（即是否被其他解支配）分为不同的层级，这样可以更好地筛选出优质的解。

3. 拥挤度计算：为了保持种群的多样性，我们需要计算每个解的拥挤度。拥挤度大的解表示周围有较多的解，这样的解可能会被剔除；而拥挤度小的解则表示周围解较少，更有可能被保留下来。

4. 选择、交叉和变异：接下来，我们通过选择操作，从当前种群中挑选出优质的解，然后进行交叉和变异操作，生成新的子代种群。这就像生物进化中的遗传和变异过程，通过这种方式，我们可以在解空间中不断探索新的可能。

5. 精英保留：为了保留优秀的解，我们将当前种群和子代种群合并，然后再次进行非支配排序和拥挤度计算，最终选出下一代种群。这样可以确保每一代种群都比上一代更优秀。

通过这样的循环迭代，NSGA-III 算法就能逐渐逼近最优解。

参考点与参考方向

NSGA-III 算法的核心之一就是参考点和参考方向。在优化过程中，参考点可以看作是我们期望的最优解的目标值，而参考方向则指导算法在解空间中向哪个方向搜索。通过这种方式，NSGA-III 算法可以更有效地找到 Pareto 前沿（即所有非支配解组成的集合）。

NSGA-III 算法简介

NSGA-III（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm III）是一种用于多目标优化的进化算法，由 Deb 和 Jain 在 2014 年提出。它是 NSGA-II 的扩展，旨在解决高维多目标优化问题（目标数大于 3）。NSGA-III 的核心思想是通过引入参考点（Reference Points）和参考方向（Reference Directions）来引导种群的进化，从而在 Pareto 前沿上均匀分布解。

Python 实现

以下是 NSGA-III 算法的 Python 实现，我们将从头开始，不依赖外部库（除了基础库）。

1. 导入基础库​​​​​​​

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.cluster import KMeans

2. 个体类

定义一个个体类，用于存储个体的基因、目标值、非支配层级和拥挤度。​​​​​​​

class Individual:    def __init__(self, genes):        self.genes = genes  # 解的基因        self.objectives = None  # 解的目标值        self.rank = None  # 非支配层级        self.crowding_distance = 0  # 拥挤度        self.ref_dir = None  # 关联的参考方向

3. 初始化种群

生成随机种群。​​​​​​​

def initialize_population(pop_size, num_vars, lower_bound, upper_bound):    population = []    for _ in range(pop_size):        genes = np.random.uniform(lower_bound, upper_bound, size=num_vars)        individual = Individual(genes)        population.append(individual)    return population

4. 非支配排序

实现非支配排序。​​​​​​​

def non_dominated_sort(population):    for individual in population:        individual.rank = None        individual.domination_count = 0        individual.dominated_solutions = []
    for i in range(len(population)):        for j in range(len(population)):            if i == j:                continue            if dominates(population[i], population[j]):                population[i].dominated_solutions.append(population[j])            elif dominates(population[j], population[i]):                population[i].domination_count += 1
    front = [individual for individual in population if individual.domination_count == 0]    current_rank = 1    F = [[]]
    while front:        for individual in front:            individual.rank = current_rank        F.append(front)        next_front = []        for individual in front:            for dominated in individual.dominated_solutions:                dominated.domination_count -= 1                if dominated.domination_count == 0:                    next_front.append(dominated)        front = [individual for individual in next_front if individual not in front]        current_rank += 1
    return F[:-1]  # 去掉空的最后一层

5. 拥挤度计算

实现拥挤度计算，用于保持种群多样性。

def calculate_crowding_distance(population):    distance = np.zeros(len(population))    num_objs = len(population[0].objectives)
    for i, obj in enumerate(zip(*[ind.objectives for ind in population])):        obj = np.array(obj)        sorted_idx = np.argsort(obj)        distance[sorted_idx[0]] = np.inf        distance[sorted_idx[-1]] = np.inf        normalized_obj = (obj - np.min(obj)) / (np.max(obj) - np.min(obj) + 1e-10)        for j in range(1, len(sorted_idx) - 1):            distance[sorted_idx[j]] += normalized_obj[sorted_idx[j+1]] - normalized_obj[sorted_idx[j-1]]
    return distance

6. 参考方向生成

使用 Das-Dennis 方法生成参考方向。​​​​​​​

def generate_reference_directions(num_objs, num_partitions):    if num_objs == 1:        return np.array([[1.0]])    ref_dirs = []    step = 1.0 / num_partitions    for i in range(num_partitions + 1):        xi = i * step        remaining = 1.0 - xi        if remaining < 0:            continue        if num_objs > 2:            sub_dirs = generate_reference_directions(num_objs - 1, num_partitions)            for sub_dir in sub_dirs:                ref_dir = np.array([xi] + list(sub_dir))                ref_dirs.append(ref_dir)        else:            ref_dirs.append(np.array([xi, 1.0 - xi]))    return np.array(ref_dirs)

7. 关联参考方向

为每个解找到最近的参考方向。​​​​​​​

def associate_to_reference_directions(population, ref_dirs):    for individual in population:        min_distance = np.inf        best_dir = None        for ref_dir in ref_dirs:            distance = np.linalg.norm(individual.objectives - ref_dir)            if distance < min_distance:                min_distance = distance                best_dir = ref_dir        individual.ref_dir = best_dir

8. 选择、交叉、变异

实现遗传操作。​​​​​​​

def select_tournament(population, tournament_size):    selected = []    for _ in range(tournament_size):        candidate = np.random.choice(population)        selected.append(candidate)    return min(selected, key=lambda x: (x.rank, -x.crowding_distance))
def crossover(parent1, parent2, eta_c):    child1_genes = np.zeros_like(parent1.genes)    child2_genes = np.zeros_like(parent1.genes)    for i in range(len(parent1.genes)):        if parent1.genes[i] > parent2.genes[i]:            uj = np.random.random()            if uj < 0.5:                beta = (2 * uj) ** (1 / (eta_c + 1))            else:                beta = (1 / (2 - 2 * uj)) ** (1 / (eta_c + 1))            child1_genes[i] = 0.5 * ((1 + beta) * parent1.genes[i] + (1 - beta) * parent2.genes[i])            child2_genes[i] = 0.5 * ((1 - beta) * parent1.genes[i] + (1 + beta) * parent2.genes[i])    return child1_genes, child2_genes
def mutate(child, eta_m, mutation_rate):    for i in range(len(child.genes)):        if np.random.random() < mutation_rate:            delta = np.random.random() ** (1 / (eta_m + 1))            child.genes[i] += delta * (child.genes[i] - 0.5)    return child

9. 主算法

整合所有步骤，实现 NSGA-III。​​​​​​​

def nsga3(pop_size, num_vars, num_objs, lower_bound, upper_bound, problem, num_generations, ref_dirs):    population = initialize_population(pop_size, num_vars, lower_bound, upper_bound)
    for generation in range(num_generations):        # 计算目标值        for individual in population:            objectives = problem(individual.genes)            individual.objectives = objectives
        # 非支配排序和拥挤度        fronts = non_dominated_sort(population)        for front in fronts:            crowding_distance = calculate_crowding_distance(front)            for i, individual in enumerate(front):                individual.crowding_distance = crowding_distance[i]
        # 关联参考方向        associate_to_reference_directions(population, ref_dirs)
        # 选择、交叉、变异        offspring = []        while len(offspring) < pop_size:            parent1 = select_tournament(population, tournament_size=2)            parent2 = select_tournament(population, tournament_size=2)            child1_genes, child2_genes = crossover(parent1, parent2, eta_c=2)            child1 = Individual(child1_genes)            child2 = Individual(child2_genes)            child1 = mutate(child1, eta_m=20, mutation_rate=0.1)            child2 = mutate(child2, eta_m=20, mutation_rate=0.1)            offspring.extend([child1, child2])
        # 合并种群        combined_population = population + offspring
        # 淘汰        fronts = non_dominated_sort(combined_population)        new_population = []        for front in fronts:            if len(new_population) + len(front) > pop_size:                sorted_front = sorted(front, key=lambda x: (x.rank, -x.crowding_distance))                new_population.extend(sorted_front[:pop_size - len(new_population)])                break            new_population.extend(front)        population = new_population
    return population

10. 测试问题

定义一个简单的多目标优化问题（例如 DTLZ1）。​​​​​​​

def dtlz1(x):    n_vars = len(x)    k = n_vars - 1    g = 100 * (k + sum((x_i - 0.5)**2 - np.cos(20 * np.pi * (x_i - 0.5)) for x_i in x[:-1]))    f1 = 0.5 * x[-1] * (1 + g)    f2 = 0.5 * (1 - x[-1]) * (1 + g)    return np.array([f1, f2])

11. 可视化结果

运行算法并可视化结果。​​​​​​​

# 参数设置pop_size = 100num_vars = 2num_objs = 2lower_bound = np.array([0.0, 0.0])upper_bound = np.array([1.0, 1.0])num_generations = 100
# 生成参考方向ref_dirs = generate_reference_directions(num_objs, num_partitions=12)
# 运行 NSGA-IIIpopulation = nsga3(pop_size, num_vars, num_objs, lower_bound, upper_bound, dtlz1, num_generations, ref_dirs)
# 提取目标值objectives = [ind.objectives for ind in population]
# 可视plt.scatter([o[0] for o in objectives], [o[1] for o in objectives])plt.xlabel("Objective 1")plt.ylabel("Objective 2")plt.title("NSGA-III Results")plt.show()

深度解析

1. 关键代码解析

非支配排序​​​​​​​

def non_dominated_sort(population):    for individual in population:        individual.rank = None        individual.domination_count = 0        individual.dominated_solutions = []
    for i in range(len(population)):        for j in range(len(population)):            if i == j:                continue            if dominates(population[i], population[j]):                population[i].dominated_solutions.append(population[j])            elif dominates(population[j], population[i]):                population[i].domination_count += 1
    front = [individual for individual in population if individual.domination_count == 0]    current_rank = 1    F = [[]]
    while front:        for individual in front:            individual.rank = current_rank        F.append(front)        next_front = []        for individual in front:            for dominated in individual.dominated_solutions:                dominated.domination_count -= 1                if dominated.domination_count == 0:                    next_front.append(dominated)        front = [individual for individual in next_front if individual not in front]        current_rank += 1
    return F[:-1]  # 去掉空的最后一层

• 非支配排序：通过比较每个个体和其他个体的关系，确定非支配层级。

• 支配关系：如果个体 A 的所有目标值都不劣于个体 B，且至少有一个目标值优于个体 B，则认为个体 A 支配个体 B。

拥挤度计算​​​​​​​

def calculate_crowding_distance(population):    distance = np.zeros(len(population))    num_objs = len(population[0].objectives)
    for i, obj in enumerate(zip(*[ind.objectives for ind in population])):        obj = np.array(obj)        sorted_idx = np.argsort(obj)        distance[sorted_idx[0]] = np.inf        distance[sorted_idx[-1]] = np.inf        normalized_obj = (obj - np.min(obj)) / (np.max(obj) - np.min(obj) + 1e-10)        for j in range(1, len(sorted_idx) - 1):            distance[sorted_idx[j]] += normalized_obj[sorted_idx[j+1]] - normalized_obj[sorted_idx[j-1]]
    return distance

• 拥挤度计算：通过目标值的排序和差值计算拥挤度，确保种群的多样性。

参考方向关联​​​​​​​

def associate_to_reference_directions(population, ref_dirs):    for individual in population:        min_distance = np.inf        best_dir = None        for ref_dir in ref_dirs:            distance = np.linalg.norm(individual.objectives - ref_dir)            if distance < min_distance:                min_distance = distance                best_dir = ref_dir        individual.ref_dir = best_dir

• 参考方向：为每个解找到最近的参考方向，用于维持解在 Pareto 前沿上的均匀分布。

2. 算法流程图

3. 算法性能分析

• 多样性：通过拥挤度和参考方向确保解在 Pareto 前沿上的均匀分布。

• 收敛性：通过非支配排序引导种群向 Pareto 前沿收敛。

• 计算复杂度：非支配排序和拥挤度计算的复杂度分别为 O(MN^2) 和 O(MN)，其中 M 为目标数，N 为种群大小。

总结

NSGA-III 是一种强大的多目标优化算法，适用于高维目标优化问题。通过参考方向和非支配排序，NSGA-III 能够在 Pareto 前沿上生成分布均匀的解。本文详细解析了 NSGA-III 的原理和实现，并提供了完整的 Python 代码，希望对你有所帮助！