最近公共祖先(LCA)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<stack>
#include<map>
using namespace std;
const int N = 1010;
const int K = 20;
vector<int> G[N];
int root;


int parent[K][N];
int depth[N];
int n, m;


void dfs(int v, int p, int d){
    parent[0][v] = p;
    depth[v] = d;
    for(int i = 0; i < G[v].size(); i++){
        if(G[v][i] != p) dfs(G[v][i], v, d + 1);
    }
}


void init(){
    dfs(root, -1, 0);
    for(int k = 0; k + 1 < K; k++){
        for(int v = 1; v <= n; v++){
            if(parent[k][v] < 0) parent[k + 1][v] = -1;
            else parent[k + 1][v] = parent[k][parent[k][v]];
        }
    }
}


int lca(int u, int v){
    if(depth[u] > depth[v]) swap(u, v);
    //将u,v合并都同一层
    for(int k = 0; k < K; k++){
        if((depth[v] - depth[u]) >> k & 1){
            v = parent[k][v];
        }
    }
    if(u == v) return u;//找到最近lca
    for(int k = K - 1; k >= 0; k--){
        if(parent[k][u] != parent[k][v]){
            u = parent[k][u];
            v = parent[k][v];
        }
    }
    return parent[0][u];
}


int main(){
    init();
    while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF){
        int a, b;
        for(int i = 0; i < n - 1; i++){
            scanf("%d%d", &a, &b);
            G[a].push_back(b);
            G[b].push_back(a);
        }
        root = 1;
        init();
        cout << "query" << endl;
        while(m--){
            scanf("%d%d", &a, &b);
            printf("%d\n", lca(a, b));
        }
    }
    return 0;
}
### 关于最近公共祖先LCA)问题的解法 #### 定义与背景 最近公共祖先(Lowest Common Ancestor, LCA),是指在一棵树中找到两个节点的最低共同父节点。这个问题在处理树形结构的数据时非常常见,在蓝桥杯竞赛以及其他编程比赛中也经常作为考察点之一。 #### 基础方法:暴力遍历 最简单的方法是从根节点开始向下逐层比较给定的两个目标节点的位置关系,直到遇到第一个能同时到达这两个节点的分支点为止。这种方法虽然直观易懂,但在大型或深层级数较多的情况下效率较低[^1]。 #### 改进方案:倍增算法 一种更高效的解决方案是采用倍增算法来求解LCA问题。此方法预先通过动态规划的方式记录下每个节点向上跳转\(2^i\)步后的祖先位置,从而可以在O(logN)时间内完成查询操作。具体步骤如下: - **预处理阶段**:对于每一个节点u及其高度h(u),计算并存储其所有可能的\(2^k\)-th父母节点parent[u][k]。 ```cpp void dfs(int u,int fa){ parent[u][0]=fa; depth[u]=depth[fa]+1; for (int i=1;(1<<i)<=depth[u];++i) parent[u][i]=parent[parent[u][i-1]][i-1]; // ...其他逻辑... } ``` - **查询阶段**:当需要寻找两节点u和v之间的LCA时,先调整两者至相同深度再逐步上移直至相遇。 ```cpp int lca_query(int u,int v){ if(depth[u]<depth[v]) swap(u,v); while(depth[u]>depth[v]){ int k=log2(depth[u]-depth[v]); u=parent[u][k]; } if(u==v)return u; for(int k=max_level;k>=0;--k){ if(parent[u][k]!=parent[v][k]){ u=parent[u][k]; v=parent[v][k]; } } return parent[u][0]; } ``` 这种基于倍增的思想不仅适用于普通的无权有向树,也可以扩展到加权边的情况,并且能够很好地满足比赛中的时间复杂度要求[^2]。 #### 应用于蓝桥杯竞赛 考虑到蓝桥杯对参赛者的基础知识掌握程度有一定要求,建议深入理解上述两种基本策略的基础上,多做练习题巩固知识点。特别是针对不同类型的输入规模优化自己的解答方式,提高程序运行速度和准确性。
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