树上启发式合并

树上启发式合并

前言: 今天又遇到启发式合并了，还没有写出来，还是整理一下。

什么时候用启发式合并？

当需要统计并合并子树的信息，然而一次合并的复杂度为$O(n)$，整体复杂度为$O(n^2)$时，使用启发式合并可以将合并的复杂度降为$O(nlogn)$。

启发式合并的思想

举一个例子，现在有一棵树，每个节点涂有一个颜色。需要统计每颗子树上哪种颜色最多。
暴力合并:

//实际上有更简洁的代码，这么写是为了和后面的启发式合并的代码做比较，有更直观的感受。
nt n;//size of tree
vector<int> tree[maxn];
int color[maxn];//color on node
int ans[maxn];// ans for each node
int cnt[maxn];//used for cnt color on subtree
int dfs(int rt, int fa, int *cnt)
{
	for(auto v : tree[rt])
	{
		if(v == fa)continue;
		ans[v] = dfs(v, rt, cnt);
		memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	}
	for(auto v : tree[rt])
	{
		if(v == fa)continue;
		dfs(v, rt, cnt);
	}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                            
	cnt[color[rt]]++;
	int mx = -1, pos = 0;
	for(int i = 1; i <= colorMax; ++i)
		if(mx < cnt[i])mx = cnt[i], pos = i;
	return pos;
}

上面的算法流程可以总结为：

1. 统计子节点的信息并记录子节点答案
2. 重新统计子节点的信息，合并在一块
3. 加入父亲节点信息，计算答案

每颗子树被统计至少一遍，复杂度$O(n^2)$。
思考，可不可以在统计子节点信息，直接把子节点信息写入父亲节点相关数据结构，而不需要合并。
答案是，只能选一个子节点在统计时直接写入父亲节点数据结构。如果选重儿子这么做，就是树上启发式合并。

算法流程

1. 统计轻儿子的信息并记录轻儿子的答案
2. 统计重儿子的信息记录答案，同时保留重儿子的信息
3. 将轻儿子的信息加入记录
4. 加入父亲节点信息，计算答案。

每个节点点被统计的次数为到根节点路径上轻链的数量 + 1，由于一条路径上轻链的个数不会超过$logn$条，所以算法的复杂度为$O(nlogn)$

大概代码：

int n;//size of tree
vector<int> tree[maxn];
int color[maxn];//color on node
int ans[maxn];// ans for each node
int cnt[maxn];//used for cnt color on subtree
int son[maxn];// heavy son

int dfs(int rt, int fa, int *cnt)
{
	if(!son[rt])//a leaf
	{
		cnt[color[rt]]++;
		return;
	}
	
	//cal light son
	for(auto v : tree[rt])
	{
		if(v == son[rt] || v == fa)continue;
		ans[v] = dfs(v, rt, cnt);
		memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
	}
	//cal heavy son and remain the data
	dfs(son[rt], rt, cnt);
	//add light son data to get rt ans
	for(auto v : tree[rt])
		if(v == fa || v == son[rt])continue;
		else dfs(v, rt, cnt);
	cnt[color[rt]]++;
	int mx = -1, pos = 0;
	for(int i = 1; i <= colorMax; ++i)
		if(mx < cnt[i])mx = cnt[i], pos = i;
	return pos;
}