找出丢失的数字 (XOR)

问题：

有一组数字，从1到n中减少了一个数，顺序也被打乱了，放在一个n-1的数组里，请找出丢失的数字。

分析：

这类题是频率很高的面试题，这类题的主要思路还是用XOR位操作，利用XOR位操作的原理是如果两个相同的数进行XOR操作，结果是0，而0与数A进行位操作，结果仍旧是A。所以，我们可以用1^2^...^n的结果逐个异或当前输入数据，而最后的结果是丢失的那个数字。时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(1)。

我们也可以用其它的方法，但是，相比起位操作，其它方法都有所缺陷，比如：

1. 用1+2+...+n（即n(n+1)/2）减去当前输入数据的总和。时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(1)，缺点是容易溢出。缓解溢出的方法，求1+2+...+n的时候，边加边减。假如数组为a，那么这可以这么计算1-a[0]+2-a[1]+...+(n-1)-a[n-2]+n。
2. 用1*2*...*n除以当前输入的数据的积。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(1)。缺点也是容易溢出，缓解的办法：1/a[0]*2/a[1]...(n-1)/a[n-2]*n（得用浮点除法）。
3. 对输入数据排序，然后从头到尾遍历一次。时间复杂度O(nlgn)，空间复杂度O(1)（还取决于排序算法）。缺点很明显，时间复杂度过高。
4. 对输入数据进行Hash，然后从头到位遍历一次。时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。

如果是少了两个数，那又该怎么办呢？

我们可以用1^2^...^n的结果逐个异或当前输入数据，得到x^y。由于x与y不相等，所以x^y的结果中至少有一位是1。我们根据这一位的不同（0或1）将输入数据以及1,2,...,n分成两堆。然后，分别对两堆进行异或即可得到x和y。

问题扩展2：1-1000放到含有1001个元素的数组中，只有唯一的一个元素重复，其他均只出现一次。每个数组元素只能访问一次，设计一个算法，将它找出来。要求不用辅助存储空间。
这个问题的解法类似，用1^2^...^1000的结果逐个异或输入的1001个元素，得到的结果即为所求。
相似问题：
给你n个数，其中有且仅有一个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间常数空间找出出现了奇数次的那一个数。

给你n个数，其中有且仅有两个数出现了奇数次，其余的数都出现了偶数次。用线性时间常数空间找出出现了奇数次的那两个数。(amazon 面试题) 

此题代码来自 http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/2541117420071128950682/

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// Find two numbers which only appear once in an array
// Input: data - an array contains two number appearing exactly once,
//               while others appearing exactly twice
//        length - the length of data
// Output: num1 - the first number appearing once in data
//         num2 - the second number appearing once in data
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
void FindNumsAppearOnce(int data[], int length, int &num1, int &num2)
{
      if (length < 2)
            return;
 
      // get num1 ^ num2
      int resultExclusiveOR = 0;
      for (int i = 0; i < length; ++ i)
            resultExclusiveOR ^= data[i];
 
      // get index of the first bit, which is 1 in resultExclusiveOR
      unsigned int indexOf1 = FindFirstBitIs1(resultExclusiveOR);
 
      num1 = num2 = 0;
      for (int j = 0; j < length; ++ j)
      {
            // divide the numbers in data into two groups,
            // the indexOf1 bit of numbers in the first group is 1,
            // while in the second group is 0
            if(IsBit1(data[j], indexOf1))
                  num1 ^= data[j];
            else
                  num2 ^= data[j];
      }
}
 
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Find the index of first bit which is 1 in num (assuming not 0)
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
unsigned int FindFirstBitIs1(int num)
{
      int indexBit = 0;
      while (((num & 1) == 0) && (indexBit < 32))
      {
            num = num >> 1;
            ++ indexBit;
      }
 
      return indexBit;
}
 
///////////////////////////////////////////////////////////////////////
// Is the indexBit bit of num 1?
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bool IsBit1(int num, unsigned int indexBit)
{
      num = num >> indexBit;
 
      return (num & 1);
}

参考：http://www.cnblogs.com/youwang/archive/2011/03/30/find_missing_number.html