伴随矩阵A*

本文详细介绍了伴随矩阵的定义、计算方法,并通过具体实例展示了如何求解伴随矩阵。伴随矩阵在可逆矩阵计算及求解线性方程组中起到关键作用,理解其原理能帮助解决实际问题。

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伴随矩阵的定义:

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1. 定义中的注意点

  1. 定义矩阵A是方阵
  2. 余子式:伴随矩阵的每个元素的余子式是除去当前元素行列,剩下的元素构成的行列式。
  3. 代数余子式:取行列式的值,符号由当前行标和列标的值决定(-1的i+j次幂)。
  4. 位置关系为转置。
    在这里插入图片描述

2. 伴随矩阵的计算实例

例1:求矩阵A的伴随矩阵,其中矩阵A的行列式

A n ∗ n = ∣ 1 2 − 1 3 1 0 − 1 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{n*n} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{2} & \mathbf{-1} \\ \mathbf{3} & \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{-1} & \mathbf{-2} \\ \end{vmatrix} Ann= 131211102

解答:求解余子式
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a11的余子式:
A 11 = ∣ 1 0 − 1 − 2 ∣ \mathbf{A}_{11} = \begin{vmatrix} \mathbf{1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{-1} & \mathbf{-2} \\ \end{vmatrix} A11= 1102
a11代数余子式:
A 11 = ( − 1 ) 1 + 1 ∣ 1 ∗ ( − 2 ) − 0 ∗ ( − 1 ) ∣ = − 2 \mathbf{A}_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1*(-2)-0*(-1) \end{vmatrix}=-2 A11=(1)1+1 1(2)0(1) =2
在这里插入图片描述

A的伴随矩阵A* =
在这里插入图片描述


3. 应用之求解方程组的解

求解线性方程组的解。

在这里插入图片描述
求解有:
在这里插入图片描述

根据矩阵性质:在这里插入图片描述
在这里插入图片描述

在这里插入图片描述
注意:可逆矩阵以及可逆矩阵的性质

总结:

  1. 掌握伴随矩阵的求法;
  2. 学会通过求解伴随矩阵,完成对可逆矩阵的计算;
  3. 会应用伴随矩阵求可逆矩阵,从而求解方程组;
  4. 掌握基础原里,解决实际问题,应用创新。
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