拉丁方与数独算法优化

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于 2025-09-10 16:28:29 发布 · 808 阅读

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#拉丁方 # 数独 # 回溯算法

21、证明除了1阶拉丁方外，不存在奇数阶的反对角拉丁方，然后说明如何修改拉丁方生成过程（LatinSquare）以得到反对角拉丁方生成过程（AntidiagonalLatinSquare），该过程可用于生成任意阶n的所有反对角拉丁方。

只有奇数阶方阵的对角线在中心方格相交。因此，方阵的四个角应该相同，这就禁止了除1阶方阵之外的任何方阵成为拉丁方，因为四个角不重合但包含相同的值。

为了只得到反对角拉丁方，一种解决方案是修改过程 LatinSquare ，在 for 循环开始后引入与函数 Satisf 相关的条件语句，形式为：

CorrectNWSEDiag(r, c, j) and CorrectSWNEDiag(r, c, j)

22、数独游戏：游戏目的是用数字填充一个九宫格正方形，该正方形被细分为同样数量的边长为三的相同正方形（称为区域），使得每行、每列和每个区域都恰好包含一次从 1 到 9 的数字。游戏开始时，一些数字（称为已揭示方格）已经就位。请提出一个枚举结构 X，定义其属性。关于循环变量将遍历的集合，我们能得出什么结论？

枚举结构 X 定义在笛卡尔积上，模式为 AllTI，布局类似 T2D 以体现 X 定义域的二维性质。对于循环变量 j 的集合，需排除当前行、列和所在区域已有的值，即遍历 1 到 9 中除去 X[r, 1 到 c - 1]、X[1 到 r - 1, c] 以及 X[((r - 1) / 3) * 3 + 1 到 r - 1, ((c - 1) / 3) * 3 + 1 到 c - 1] 值域的部分。

23、编写程序Sudoku1（无已揭示方块）的代码以及调用程序。大约有7×10²¹个解。估算该程序在典型当前处理器上的计算时间。

程序 Sudoku1 的代码如下：

1. procedure Sudoku1(r, c) pre
2. r ∈ 1 .. 9 and c ∈ 1 .. 9
3. begin
4. for j parcourant 1 .. 9 - codom
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   X[r, 1 .. c - 1] ∪ X[1 .. r - 1, c] ∪
   X
   
   
   
   
   
   
   
   r - 1
   3
   · 3 + 1 .. r - 1,
   c - 1
   3
   · 3 + 1 .. c - 1
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   do
5.    X[r, c] ← j;
6.    if r = 9 and c = 9 then
7.      write(X)
8.    else
9.      if c = 9 then
10.       Sudoku1(r + 1, 1)
11.     else
12.       Sudoku1(r, c + 1)
13.     end if
14.   end if
15. end for
16. end

调用程序如下：

1. variables
2. X ∈ 1 .. 9 × 1 .. 9 → 1 .. 9
3. begin
4.   Sudoku1(1, 1)
5. end

粗略的实验评估估计该程序的执行时间约为 190亿年 ，这超过了通常认为的宇宙年龄！

24、在大多数实际使用的编程语言中，不具备遍历一个不完整区间（带有“空洞”）的特性。假设之前有一个Sudoku1过程利用了该特性，现在基于此修改Sudoku1过程以得到一个高效版本的Sudoku2（建议避免在X内部进行顺序搜索）。

为了提高效率，定义一个由三个布尔表 H 、 V 和 R 组成的数据结构（其属性强化了现有不变量），通过直接访问快速给出答案。具体而言：

H[r, j] （分别地， V[j, c] ）为真，当且仅当值 j 未在第 r 行（分别地，第 c 列）中使用。
R[r, c, j] 为真，当且仅当 j 未在包含方格 (r, c) 的区域中使用。

以下是 Sudoku2 过程代码：

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