最短路径解决算法

一.问题引入

        问题：从某顶点出发，沿图的边到达另一顶点（O(n2)Xn个，总体为3次方）所经过的路

径中，各边上权值之和最小的一条路径——最短路径。解决最短路的问题有以下算

法，Dijkstra算法，Bellman-Ford算法，Floyd算法和SPFA算法，另外还有著名的启发式

搜索算法A*，不过A*准备单独出一篇，其中Floyd算法可以求解任意两点间的最短路径

的长度。笔者认为任意一个最短路算法都是基于这样一个事实：从任意节点A到任意

节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B。

二.Dijkstra算法

        该算法在《数据结构》课本里是以贪心的形式讲解的，不过在《运筹学》教材里被编排在动态规划章节，建议读者两篇都看看。

           

        观察右边表格发现除最后一个节点外其他均已经求出最短路径。

        (1)   迪杰斯特拉(Dijkstra)算法按路径长度(看下面表格的最后一行，就是next点)递增次序产生最短路径。先把V分成两组：

• S：已求出最短路径的顶点的集合
• V-S=T：尚未确定最短路径的顶点集合

        将T中顶点按最短路径递增的次序加入到S中，依据：可以证明V0到T中顶点Vk的最短路径，或是从V0到Vk的直接路径的权值或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和（反证法可证，说实话，真不明白哦）。

        (2)   求最短路径步骤

1. 初使时令 S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值， 若存在<V0,Vi>，为<V0,Vi>弧上的权值（和ＳＰＦＡ初始化方式不同），若不存在<V0,Vi>，为Inf。
2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W(贪心体现在此处)，加入S(注意不是直接从S集合中选取，理解这个对于理解vis数组的作用至关重要)，对T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值比不加W的路径要短，则修改此距离值（上面两个并列for循环，使用最小点更新）。
3. 重复上述步骤，直到S中包含所有顶点，即S=V为止（说明最外层是除起点外的遍历）。

        下面是上图的求解过程，按列来看，第一列是初始化过程，最后一行是每次求得的next点。

           

        (3)   问题：Dijkstar能否处理负权边？（来自《图论》）

             答案是不能，这与贪心选择性质有关(ps：貌似还是动态规划啊，晕了)，每次都找一个距源点最近的点（dmin），然后将该距离定为这个点到源点的最短路径；但如果存在负权边，那就有可能先通过并不是距源点最近的一个次优点（dmin'），再通过这个负权边L(L<0)，使得路径之和更小（dmin'+L<dmin）,则dmin'+L成为最短路径，并不是dmin，这样dijkstra就被囧掉了。比如n=3，邻接矩阵： 
0，3，4 
3，0，-2 
4，-2，0,用dijkstra求得d[1，2]=3，事实上d[1，2]=2，就是通过了1-3-2使得路径减小。不知道讲得清楚不清楚。

二.Floyd算法

        参考了南阳理工牛帅(目前在新浪)的博客。

        Floyd算法的基本思想如下：从任意节点A到任意节点B的最短路径不外乎2种可能，1是直接从A到B，2是从A经过若干个节点到B，所以，我们假设dist(AB)为节点A到节点B的最短路径的距离，对于每一个节点K，我们检查dist(AK) + dist(KB) < dist(AB)是否成立，如果成立，证明从A到K再到B的路径比A直接到B的路径短，我们便设置 dist(AB) = dist(AK) + dist(KB)，这样一来，当我们遍历完所有节点K，dist(AB)中记录的便是A到B的最短路径的距离。

        很简单吧，代码看起来可能像下面这样：

for (int i=0; i<n; ++i) {

  for (int j=0; j<n; ++j) {

    for (int k=0; k<n; ++k) {

      if (dis