洛谷P1115 最大子段和

原创已于 2024-06-23 19:22:09 修改 · 653 阅读

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#算法 #数据结构

于 2024-03-28 16:54:40 首次发布

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本文介绍了三种方法解决给定序列中找到连续且非空子段以获得最大和的问题：暴力枚举、双指针遍历和动态规划。暴力枚举不适合大数据，而双指针和动态规划提供更高效的解决方案。

题目描述

给出一个长度为为n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式

第一行是一个整数，表示序列的长度 n。

第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 ai。

输出格式

输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例

输入 #1

7
2 -4 3 -1 2 -4 3

输出 #1

解法一：暴力枚举（大数据无法通过）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=200010;
int a[N]; 
int n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	
	int ans=0xc0c0c0c0;

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{	 
	  	int sum=0;//某段区间的和 
	  	for(int j=i;j<=n;j++)
		{
		  sum+=a[j];
		  ans=max(ans,sum);	
	    } 	
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

解法二：借助双指针思想

思路：当前子段为以第i-1个元素为结尾的子段，对于第i个数a[i]，如果当前的和sum<0，一个数加上一个负数，新的和sum一定是小于a[i]，为获得最大和，抛弃该子段和，让新的sum=当前a[i]。如果当前的sum>=0,加上第i个数。

其实思路可以总结为，找以第i个数为结尾的子段的最大和，可以把前i-1的子段和看成一个整体，小于0就不要，大于0就加上。

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=200010;
int a[N];
int n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	
	int ans=0xc0c0c0c0;
	int sum=0;//某段区间的和 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{	 
	    if(sum<0)
	    {
	    	sum=a[i];
		}
		else
		{
			sum+=a[i];
		}
		ans=max(ans,sum);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}

解法三：动态规划

状态表示：dp[i]表示以第i个数结尾的最大子段和

状态转移方程：dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i])

（其实和解法二的思想有点类似）

#include<iostream>
using namespace std;
const int N=200010;
int a[N],dp[N]; 
int n;
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	
	int ans=0xc0c0c0c0;

	for(int i=1;i<=n;i++)
	{	 
	  dp[i]=max(a[i],dp[i-1]+a[i]);
	  ans=max(ans,dp[i]);
	}
	
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}