数据结构-树

最新推荐文章于 2022-10-07 19:47:24 发布

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分类专栏：数据结构

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本文介绍了二叉树相关知识，包括树的基本概念，如双亲、子女、路径等。阐述了二叉树的特点，如子树有左右之分。讲解了链式存储结构，以及先序、中序、后序三种遍历方式，并给出遍历示例。还说明了二叉树遍历在计算深度、结点个数和叶子结点个数方面的应用。

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树中，每一层上的数据元素可能和下一层中的多个元素相关，但最多智能和上一层中的一个元素相关。一个根结点分出m个子树。各节点关系以下图为例：

A是B的双亲，B是A的子女，<A,B>是从A到B的边。
B、C为兄弟，但G和H不是兄弟；
路径：A-B-F为一条路径，要求不断从父节点到子结点，路径长度为2（经过的边的个数）。
根节点层数为0，以此类推。树中结点最大的层数成为树的深度，上图深度为2。
一个结点子女的个数称为该结点的度数。度数为0的结点称为树叶，又叫终端结点；度数大于0的结点叫做分支结点。

二叉树

二叉树结点的子树有左子树、右子树之分，第i层结点数最多为2ⁱ；
深度为k的二叉树最多有2^k+1 -1 个结点。
满二叉树：深度为k，且有2^k+1 -1 个结点。
完全二叉树：最多只允许最下面两层上结点度数可以小于2，且最小面一层的结点都集中再该层最左边若干位置上，如下图所示。

链式存储结构

存储二叉树最直接的方式是链式存储结构。每个结点存储自身值，和两个指针域lchild、rchild，分别指向左子女和右子女。

//先来一个二叉树结点类的定义
class Node
{
public:
	Node() :lchild(0), rchild(0){}          //类Node有两个构造函数，第一个建立了一个lchild和rchild均为空的结点
	Node(int val/*, Node *lptr, Node *rptr*/)  //第二个建立一个叶或非叶结点，并用val初始化data。
	{
		data = val;
		lchild = 0;
		rchild = 0;
	}
	int data;
	Node *lchild, *rchild;
};

或者更简单的如下：
struct BinaryNode
{
   int   m_nValue;
   BinaryNode *m_pleft;
   BinaryNode *m_pright;
}

二叉树的遍历

如果用D、L、R分别代表根结点、左子树、右子树。

先序遍历（DLR次序）：若二叉树非空，访问根结点，先序遍历左子树，先序遍历右子树。
先输出根结点A，然后访问A的左子树，左子树根结点为B，输出B；
然后访问B的左子树根结点，输出D；D无左子树，遍历到右结点G，输出。
此时遍历完了B的左子树，继续B的右子树，输出E；
遍历完了A的左子树，继续A的右子树，根节点为C，输出；
C的左子树，输出F。所以，最终输出 ABDGECF
中序遍历（LDR次序）：若二叉树非空，依次，中序遍历左子树，访问根结点，中序遍历右子树。
不断划分左子树至D，没有左子树，输出父节点D，然后右结点G；
B的左子树结束，输出B，输出右结点E；
A的左子树结束，输出A，开始A的右子树；
C有左子树F，输出F，然后输出父节点C；
右子树遍历结束。最终输出 DGBEAFC
后序遍历（LRD次序）：若二叉树非空，依次，后序遍历左子树，后序遍历右子树，访问根结点。
依旧是先不断找左子树，到D，没有左子树了，输出右子树G，然后是根结点D；
对B分出的左子树遍历完后，输出右子树E，然后是B；
A分出的左子树完成后，该右子树，C处只有左子树F，输出F后，输出D；
输出根结点A。最终结果是： GDEBFCA

void Preorder(Node* ptr)
{
	if (ptr != 0)
	{
		cout << ptr->data<<" ";   //访问根结点
		Preorder(ptr->lchild);   //先序遍历左子树
		Preorder(ptr->rchild);   //先序遍历右子树
	}
}
void Inorder(Node *ptr)
{
	if (ptr != 0)
	{
		Inorder(ptr->lchild);
		cout<< ptr->data << " ";
		Inorder(ptr->rchild);
	}
}
void Postorder(Node *ptr)
{
	if (ptr != 0)
	{
		Postorder(ptr->lchild);
		Postorder(ptr->rchild);
		cout << ptr->data << " ";
	}
}

附加一段测试代码:

int main()
{
	Node *p1 = new Node(1);
	Node *p2 = new Node(2);
	Node *p3 = new Node(3);
	Node *p4 = new Node(4);
	Node *p5 = new Node(5);
	
	p1->lchild = p2;
	p1->rchild = p3;
	p2->lchild = p4;
	p2->rchild = p5;
	
	Preorder(p1);
	cout << endl;
	Inorder(p1);
	cout << endl;
	Postorder(p1);
	cout << endl;
	
	delete p1, p2, p3, p4, p5;
	system("pause");
	return 0;
}

二叉树遍历的应用

（1）计算二叉树的深度
通过后序遍历，可以先得到左子树的深度dl，然后得到右子树的深度dr，则二叉树的深度为1+max{dl，dr}。设空二叉树的深度为-1.
（2）计算二叉树结点的个数
在遍历过程中，每个结点都要访问一次，只要计算出过程中访问的结点个数即可。
（3）计算二叉树叶子结点的个数
在遍历过程中，若发现某个结点的左右子树皆为空，则该结点为叶子结点。

/**********************二叉树遍历的应用*****************************/
//计算二叉树深度(使用后续遍历思想)
int Depth(Node* ptr)
{
	if (ptr == 0) return -1;
	int dl =Depth(ptr->lchild);
	int dr = Depth(ptr->rchild);
	return 1+(dl>dr ? dl:dr);
}
//计算二叉树结点的个数
int Size(Node *ptr)
{
	if (ptr == 0) return 0;
	return 1 + Size(ptr->lchild) + Size(ptr->rchild);
}
//计算二叉树叶子节点的个数
int LeafCount(Node *ptr)
{
	if (ptr == 0)return 0;
	if (ptr->lchild == 0 || ptr->rchild == 0)return 1;
	else return LeafCount(ptr->lchild) + LeafCount(ptr->rchild);
}
/***************************************************/