计算复杂性理论-优快云博客

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计算复杂性-现代方法

第1章

图灵机M判定一个语言 $L\subseteq \{0，1\}^*$ ,如果该图灵机计算函数 $f_L:\{0,1\}^*\rightarrow\{0,1\}$

\forall x \in L \Leftrightarrow f L (x) = 1

$\forall x\in L \Leftrightarrow f_L(x)=1$

类DTIME：
设 $T:N\rightarrow N$ 是一个函数。 $c>0$ 是常数

$语言 L \in D T I M E (T (n)) \Leftrightarrow \exists 运行时间为 c \cdot T (n) 图灵机 M 判定语言 L$ $语言L\in DTIME(T(n)) \Leftrightarrow \exists 运行时间为c\cdot T(n) 图灵机M判定语言L$
类P

$P = ⋃ c \geq 1 D T I M E (n c)$ $P=\bigcup_{c\ge1}DTIME(n^c)$

第2章

类NP
语言 $L\subseteq \{0，1\}^*$ 属于NP，如果存在多项式 $p:N\rightarrow N$ 和一个多项式时间图灵机 $M$ (称为L 的验证器)，使得对任意 $x\in\{0,1\}^*$ 有

$x \in L \Leftrightarrow \exists u \in {0, 1} p (| x |) 满足 M (x, u) = 1$ $x\in L \Leftrightarrow \exists u\in \{0,1\}^{p(|x|)}满足M(x,u)=1$
$u$ 称为 $x$ (关于语言 $L$ 和图灵机 $M$ )的证明
类EXP

$E X P = ⋃ c > 1 D T I M E (2 n c)$ $EXP=\bigcup_{c>1}DTIME(2^{n^c})$
关系：

$P \subseteq N P \subseteq E X P$ $P\subseteq NP\subseteq EXP$
非确定型图灵机：
有两个转移函数 $\delta_0,\delta_1$ ,和一个特殊状态 $q_{accept}$ ,用非确定型图灵机计算函数时，每个步骤均可以任意选用两个转移函数之一加以应用。
对于任意输入 $x$ ，如果存在转移函数的一个选用序列使得 $M$ 在输入 $x$ 上进入状态 $q_{accept}$ ，则 $M(x)=1$
对于任意输入 $x\in\{0,1\}^*$ 和任意非确定型选择序列，如果 $M$ 在 $T(|x|)$ 个步骤内要么停机要么进入状态 $q_{accept}$ ，则称 $M$ 的运行时间为 $T(n)$ .

设对任意函数 $T:N\rightarrow N$ 和 $L\subseteq\{0,1\}^*$ 如果存在常熟 $c>0$ ,和一个运行时间为 $c\cdot T(n)$ 的非确定型图灵机 $M$ ，使得 $x\in L \Leftrightarrow M(x)=1$ 对任意 $x\in \{0,1\}^*$ 成立，则称 $L\in NTIME(T(n))$