B树(Java)实现。

1. B树基本概念

1.1 B树背景

B树是用于在外存工作的平衡搜索树。

当数据比较大，无法全部存入内存时，需要将部分数据存在外存中，在需要的时候读入内存，修改之后又写回外存。由于外存的速度与内存有几个数量级的差别，所以节省在外存上花的时间，对搜索树的性能提高时最有效的。

最常见的外存就是磁盘。磁盘是快设备，也就是说磁盘的读写单位是以块为单位，一般地块大小从0.5k到4k。即使你只读取一个字节，磁盘也是将包含该字节的所有数据读取到硬盘中。而在磁盘读取过程中，最占用时间的是磁盘的寻道，也就是磁头在盘片上找到需要读取的块所在位置的时间，而在盘片上顺序读取数据的所花的时间是占比比较小的。

要减少外存上花的时间，就可以从减少读盘次数以及减少寻道时间着手。

B树采取的方法就是，就充分的利用盘块的空间，在一个盘块中尽可能多的存储信息，或者在连续的盘块地址上存储尽可能多的信息。在数据结构上的变化就是每个节点存储多个key信息以及包含多个子节点。增加节点的分支树，就可以使得这棵树的高度降低，比如高度为2（roo高度为0）分支1000的数，就以存储1000*1000个关键字信息，而二叉树j的高度就至少需要6*ln10。

如下图，M，D，J等称为key，也就是存入B树种的数据项。

图1 -B树示例（来自《算法导论》）

1.2 B树定义

（来自《算法导论》第三版）

B树T有如下性质：

      1. 每个节点x有如下属性：

• • • x.n表示节点当前key的个数。
    • x中key满足：x.key1 <= x.key2<= x.key3 <= ....    <= x.keyx,n。也就是x中的key以非降序顺序排列。
    • x要么是叶子节点，要么是内部节点。

     2. 每个内部节点包含x.n + 1 个引用，指向x.n + 1个孩子节点。叶子节点没有孩子节点。

     3. x的key将孩子节点区分开，也就是满足：设ki 为 子树i中的任意key值，k 1 <= x.k 1 <= k 2 <= x.k 2 ....<= x.k x.n <= k x.n+1.

     4. 所有的叶子节点在同一层

                     5. 每个节点拥有的key以及孩子的数量有约束，设整数 t>=2 为最小度：

• • • 除根节点外，每个节点必须有至少t-1个key，t个孩子。树不为空时，根节点至少有一个key。
    • 每个节点至多有2*t-1个key，每个内部节点至多有2*t个孩子。当一个节点有2*t-1个key时，称其为满节点。

t=2的B树称为2-3-4树，因为可以由2-3-4个孩子。

2. B树基本操作

2.1 查找

B树的查找和二叉树查找类似，首先在当前节点中查找，如果没有并且存在孩子节点，就递归的到可能存在该key的孩子节点中查找。

不同的是，B树节点有多个key，需要每个都比较，为了提高性能，可以使用二分法加速节点中的查找。

图2 -B树查找伪码（来自《算法导论》）

2.2 树的创建

B树创建很简单，将B树节点分配为一个空的叶子节点即可。

2.3 插入key

B树的插入只会在叶子节点中插入key，内部节点之后将插入操作传递到适当的子树中去，知道叶子节点中。

B树的插入需要考虑的一个问题就是当节点以满时，需要将该节点分裂成两个节点。

一个满的节点有2*t-1个key，内部节点有2*t 个孩子，分裂将其分成两个各有t-1个key，内部节点各t个孩子，多余的一个节点插入到父节点中，作为分裂之后两个节点的分割key。

如图，一个最小度为3的满节点，分裂之后，key C上移到父节点，成为分裂之后两个节点的分割key。分裂之后，父节点多了一个key和一个孩子。

图3 -B树分裂示例

为了是插入操作可以顺树根到叶子节点一遍完成，而不需要回溯到父节点中，需要做如下操作：

1. 1. 若是根节点，则生成一个新的根节点，原根节点作为新根节点的第一个孩子，并对该孩子进行分裂操作。
   2. 若是内部节点，每次向适当孩子传递操作时，都需要检查该子树是否已满，若满则进行该子树，再将插入操作传递到适当的子树中。
   3. 若是叶子节点，则在适当的位置插入需要插入的key

如此，则传递到需要操作的叶子节点都是不满的，都可以直接进行插入操作。并且可以看到，B树的高度增加只有在根节点已满时，分裂根节点增加高度，所以使得所有叶子节点的高度一样。

插入示例：

图4 -B树插入示例（来自《算法导论》）

该B树最下度为3，所以节点最多有5个key，最少有2个key。

• b) 插入B：孩子未满，直接插入
• c) 插入Q：孩子已满，分裂子树，key T上移到父节点中，然后在将Q插入到适当的孩子中
• d) 插入L：root已满，生成新root节点，分裂老root节点，在适当子树中插入适当孩子中
• e) 插入F：孩子已满，分裂子树，key C上移到父节点，在适当节点中插入Q

2.4 删除key

删除的时候，当key存在的节点的key数量等于t-1时，再删除就会破坏B树属性，所以为了不回溯，在删除操作传递到子树中之前，需要检查子树key的数量。

删除操作步骤如下:

1. 待删除key如果在当前节点中，转2，否则转8
2. 当前节点是叶子，直接删除，完成删除操作。否则转3
3. 待删除key分割的子树中，前一棵子树key的数量大于t-1，转4，否则转5.
4. 从前一颗子树中删除该子树根节点中最大的key，将该key替换当前节点中待删除key，完成删除操作。
5. 待删除key分割的子树中，后一棵子树的key数量打于t-1，转6，否则转7.
6. 从后一颗子树中的根结点中删除该节点最小的key，用该key替换待删除key，完成删除。
7. 合并该节点分割的两个子树，并从合并之后的子树中删除待删除key。
8. 找到key可能存在的子树Tn，转9
9. 该子树前一颗子树Tn-1的根节点key数量大于t-1，转10，否则转12
10. 将Tn-1中最大的key替换当前节点中适当的key，并将被替换的key插入到Tn中，转11
11. 将Tn-1中最后一个孩子，移动到Tn中适当的位置，将删除操作传递到Tn中。
12. Tn的后一颗子树Tn+1的根节点key数量大于t-1,转13，否则转？
13. 将Tn+1中最小的key替换当前节点，并将被替换的key插入到Tn+1中，转14
14. 将Tn+1中最小的子树移动到Tn中，将删除操作传递Tn中。

删除中，可能会出现根节点没有key的情况，所以删除结束之后需要检查根节点，若发生这种情况，需要将根节点更新为原根节点的唯一的一颗子树。

示例:

图5 -删除操作示例(来自《算法导论》）

3. 代码实现

3.1 AbstractBTreeNode

import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;

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 * Created by Kali on 14-5-26.\
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