数据结构之：树结构

一、树的概念

1、定义

我们先来看看树的形式化定义：
算法的集合树(Tree)是由一个或多个结点组成的有限集合T，其中有一个特定的称为根的结点；其余结点可分为(m≥0)个互不相交的有限集T1,T2,T3,…,Tm，每一个集合本身又是一棵树，且称为根的子树。

按照自己的理解，我们可以认为树其实是一种抽象的数据结构，数据之间的关系就像是树的形状一样如下图所示：从A(根节点出发)，可以散发子节点（B、C、D）,子节点又可以散发子节点，直到散发到叶子节点（E、F、G、H、I、J）结束。

2、树的专用术语

1、根节点
节点的最顶层我们称之为树的根节点，如下图所示：A就是这棵树的根节点
2、双亲节点
有两个子节点的父节点我们称之为双亲节点（A、B、C）就是双亲节点
3、路径
访问目标节点经过的路径，如访问E节点，那么该路径为：A-B-E
4、节点的度
节点的子节点，例如A的度是2，因为它有两个子节点
5、节点的权
节点的值我们称之为权，假设在F点中的值是5，那么我们称节点F的权为5
6、叶子节点：
叶子节点，我们可以理解为树结构最后的分支（其实就是叶子）即没有子节点的节点，我们称为叶子节点，例如：E、F、G就是叶子节点

二、二叉树

1、概述

二叉树是树结构的一种，只是二叉树有一些额外的要求，如下图所示就是一个二叉树的结构。顾名思义，二叉树的节点肯定是最多分二个分支，所以二叉树概念如下：
1、任何一个节点的子节点最大节点数为2。
2、二叉树的节点分为左子节点和右子节点。（例如：F的左节点为C,右节点为E）

2、二叉树遍历

二叉树的遍历方式有三种：前序遍历、中序遍历、后序遍历。在这里我们所说的遍历方式都是相对与根节点的位置来实现的。下面我们根据下图来介绍这三种遍历方式。

2.1、前序遍历

前序遍历其实就是将我们的父节点放在前面，所以遍历的顺序是：父节点、左节点、右节点。
所以上图的遍历顺序就是：FC（AD）E（HG）

2.2、中序遍历

中序遍历就是将我们的父节点放在中间，遍历顺序为：左节点、父节点、右节点
上图的遍历顺序为：(ACD) F (HEG)

2.3、后序遍历

同理，后序遍历就是将我们的父节点放在最后，遍历顺序变成：左节点、右节点、父节点
上图遍历顺序为： (ADC) (HGE) F

3、满二叉树与完全二叉树

在我们的二叉树结构中，设计到两种特殊的二叉树：满二叉树、完全二叉树。因这两种数据结构规律都是可控的，可计算的，后面的很多二叉树都会依赖这两种数据结构。

3.1、满二叉树

满二叉树：1、所有的叶子节点都在同一层 ；2、节点的总数为2^{n-1。像下图所示就是一个满二叉树，最后一层都是叶子节点，且节点总数为2}3-1 = 7。

3.2 完全二叉树

完全二叉树：所有叶子节点都在最后一层，或者倒数第二层、并且最后一层的叶子节点左连续，倒数第二层的叶子节点右连续
意思就是说我们的叶子节点如果是在最后一层的话，那么最后一层的叶子节点的左节点必须是连续的；如果在倒数第二层存在叶子节点，那么第二层的叶子节点必须右连续。像下图就是完全二叉树：

像下图最后一层左节点不连续的，就是非完全二叉树：

4、二叉树的代码实现

1、链表结构实现

package tree;

/**
 * 二叉树对象
 */
public class BinaryTree<T> {
    // 用于存放节点的权
    private T value;
    // 左节点
    private BinaryTree<T> leftNode;
    // 右节点
    private BinaryTree<T> rightNode;

    public BinaryTree(T value) {
        this.value = value;
    }

    public BinaryTree<T> getLeftNode() {
        return leftNode;
    }

    public void setLeftNode(BinaryTree<T> leftNode) {
        this.leftNode = leftNode;
    }

    public BinaryTree<T> getRightNode() {
        return rightNode;
    }

    public void setRightNode(BinaryTree<T> rightNode) {
        this.rightNode = rightNode;
    }

    /**
     * 前序遍历
     */
    public void frontShow() {
        if (this =&#