C/C++ 内使用贝塞尔函数

今天在捣鼓MMSE，倒在了贝塞尔函数上，翻找好久，原来C++的cmath里有。

官方文档在这里：

1. https://docs.microsoft.com/en-us/cpp/standard-library/cmath?view=vs-2019#regular-modified-cylindrical-bessel-functions

2. https://docs.microsoft.com/en-us/cpp/c-runtime-library/reference/bessel-functions-j0-j1-jn-y0-y1-yn?view=vs-2019

   第一个链接中是C++，引入cmath，可以调用四种贝塞尔函数。使用以下函数必须支持C++ 17标准，请注意在项目属性中进行设置。
   （项目-属性-常规-C++标准，下拉选择C++ 17）
   首先给我这条九漏鱼提个醒，

Bessel functions for integer α are also known as cylinder functions or the cylindrical harmonics because they appear in the solution to Laplace’s equation in cylindrical coordinates。

第一类贝塞尔函数：

	double cyl_bessel_j(double nu, double x);
	float cyl_bessel_jf(float nu, float x);
	long double cyl_bessel_jl(long double nu, long double x);

第一类修正的贝塞尔函数，官方文档的 Regular modified cylindrical Bessel functions。我思考了很久它到底是不是 Modified Bessel functions of the first kind…如果不是在stackoverflow里看到一位朋友说：

By regular and irregular, I presume you mean regular or modified Bessel functions.

我可能真的以为这是什么很高深的函数…看来这个说法也不怎么普遍。官方文档里的命名也是让我很不解…我刚刚一拍脑袋，我明明可以看中文版啊，过去切换语言一看——害，是机翻。

double cyl_bessel_i(double nu, double x);
float cyl_bessel_if(float nu, float x);
long double cyl_bessel_il(long double nu, long double x);

第二类贝塞尔函数，AKA Weber functions 、Neumann functions。

double cyl_neumann(double nu, double x);
float cyl_neumannf(float nu, float x);
long double cyl_neumannl(long double nu, long double x);

第二类修正的贝塞尔函数，官方文档里的 Irregular modified cylindrical Bessel functions。

double cyl_bessel_k(double nu, double x);
float cyl_bessel_kf(float nu, float x);
long double cyl_bessel_kl(long double nu, long double x);

第二个链接中是math.h中关于贝塞尔函数的说明。
如果在C中，引入math.h以后的函数调用与C++不同。math.h里的贝塞尔函数只能调用整数阶的，感觉没有C++那么自由。

double _j0(double x);
double _j1(double x);
double _jn(int n, double x);
double _y0(double x);
double _y1(double x);
double _yn(int n, double x);

以下是官方示例。

// crt_bessel1.c
#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main( void )
{
   double x = 2.387;
   int n = 3, c;

   printf( "Bessel functions for x = %f:\n", x );
   printf( "   Kind   Order  Function     Result\n\n" );
   printf( "   First  0      _j0( x )     %f\n", _j0( x ) );
   printf( "   First  1      _j1( x )     %f\n", _j1( x ) );
   for( c = 2; c < 5; c++ )
      printf( "   First  %d      _jn( %d, x )  %f\n", c, c, _jn( c, x ) );
   printf( "   Second 0      _y0( x )     %f\n", _y0( x ) );
   printf( "   Second 1      _y1( x )     %f\n", _y1( x ) );
   for( c = 2; c < 5; c++ )
      printf( "   Second %d      _yn( %d, x )  %f\n", c, c, _yn( c, x ) );
}

总结，还是要多学习唉。

[1] https://encyclopedia.thefreedictionary.com/Bessel+function