一场比赛

A
题意：求有多少无向图加一条边或删一条边后是有欧拉回路的连通图。
首先，这种图一定是有两个奇数度点的，然后它的操作方式、得到的欧拉图是唯一的，那么对于一个欧拉图，对于它已经存在的边，删去；对于它不存在的边，加上，都可以得到一组解。所以答案就是欧拉回路数$\times C_n^2$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=2010;
const int inf=2147483647;
const int mod=1000000007;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
int n,f[Maxn],F[Maxn],C[Maxn][Maxn];
void pre()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
}
int Pow(int x,int y)
{
    if(!y)return 1;
    if(y==1)return x;
    int t=Pow(x,y>>1),re=(LL)t*t%mod;
    if(y&1)re=(LL)re*x%mod;
    return re;
}
int main()
{
    freopen("road.in","r",stdin);
    freopen("road.out","w",stdout);
    n=read();
    pre();
    f[1]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)F[i]=Pow(2,C[i-1][2]);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        f[i]=F[i];
        for(int j=1;j<i;j++)
        f[i]=(f[i]-(LL)C[i-1][j-1]*f[j]%mod*F[i-j]%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%d",(LL)f[n]*C[n][2]%mod);
}

C
题意：
是不是看到这些乱七八糟的式子就要转化模型往上靠啊，这题就是先转化模型：$n$种颜色的球，每种有不同的$a_i$个，共有$m$个，要求每种颜色球的$1$号球必须在这种颜色的第一位。若我们固定$1$号球颜色的出现顺序，那么方案数就为$m!\over{\Pi_{i=1}^n s_i}$，$s_i$为$a_i$的后缀和，为什么是这样呢？若没有任何限制，方案数显然是$m!$，但是，第一个球为固定颜色的$1$号球概率为$1\over{m}$，所以要先除掉$m$，即$s_n$，然后去掉所有颜色与它相同的球，剩下$m-a_1$个球，为固定颜色的$1$号球概率为$1\over{m-a_1}$，即除掉$s_{n-1}$……以此类推就得到这个式子，但是题目中是不除掉$s_1$的，也就是不要求最后一种颜色的$1$号球必须出现在这种颜色的第一位。
至此我们已经完成了模型的转换，接下来就是计数问题。考虑容斥，枚举最后一种颜色为$last$，第一次出现位置为$pos$，后面至少有$j$种颜色，后面的$j$种颜色共有$t$个球，那么有下面的式子

$$C_{m-pos}^{t+a_{last}-1}{(m-t-a_{last})!(t+a_{last}-1)!\over{\Pi_{i=1}^{n}a_i}}a_{last}^2$$ 其中组合数是从后面的位置中选出$j$种颜色以及$last$的球的位置的方案数，后面的阶乘就是排列方式，除去的就是保证$1$号球必须在最前面，因为对于一种颜色的排列，$1$号球在前面就是$(a_i-1)!$，即$a_i!\over{a_i}$，然后后面乘的两个$a_{last}$，一个是不必除去$a_{last}$而乘回来的，一个是表示枚举$last$的哪个球放在最前面。但是仅有这样是不够的，还需要做一个背包，表示选取哪$j$种颜色，共$t$个到后面，背包的时候不需要记录选了多少种颜色，只需有记录其奇偶性即可，因为容斥的时候偶数的系数都是$1$，奇数的系数都是$-1$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define pa pair<int,int>
const int Maxn=60;
const int Maxm=1010;
const int inf=2147483647;
const int mod=1000000007;
int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return x*f;
}
void upd(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
int n,m=0,a[Maxn],C[Maxm][Maxm],inv[Maxm],fac[Maxm],g[Maxm];
void pre()
{
    C[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        C[i][0]=1;
        for(int j=1;j<=i;j++)
        C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod;
    }
    inv[0]=inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++)inv[i]=(LL)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=m;i++)fac[i]=(LL)fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        g[i]=0;
        for(int j=0;j<m;j++)g[i]=(g[i]+C[j][i-1])%mod;
    }
}
int f[2][2][Maxm];//f[i][j][k]前i种(滚动)选j种(只需j的奇偶性)和为k 
int main()
{
    freopen("comb.in","r",stdin);
    freopen("comb.out","w",stdout);
    n=read();
    a[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=read(),m+=a[i];
    pre();
    if(n==1)return printf("%d",fac[a[1]]),0;
    int s=1,ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)s=(LL)s*inv[a[i]]%mod;
    for(int last=1;last<=n;last++)
    {
        int tmp=(LL)s*a[last]%mod*a[last]%mod;
        int now=0,sum=0;
        memset(f,0,sizeof(f));
        f[0][0][a[last]]=1;sum=a[last];
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            sum+=a[i];
            if(i==last)sum-=a[i];
            if(i!=last-1)
            {
                now^=1;
                memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
                for(int j=0;j<2;j++)
                {
                    for(int k=0;k<=sum;k++)
                    if(f[now^1][j][k])
                    upd(f[now][j][k],f[now^1][j][k]),upd(f[now][j^1][k+a[i+1]],f[now^1][j][k]);
                }
            }
            else
            {
                now^=1;
                memset(f[now],0,sizeof(f[now]));
                for(int j=0;j<2;j++)
                {
                    for(int k=0;k<=sum;k++)
                    if(f[now^1][j][k])
                    upd(f[now][j][k],f[now^1][j][k]);
                }
            }
        }
        for(int c=a[last];c<=m;c++)
        ans=(ans+(LL)fac[c-1]*fac[m-c]%mod*tmp%mod*f[now][0][c]%mod*g[c]%mod)%mod,
        ans=(ans-(LL)fac[c-1]*fac[m-c]%mod*tmp%mod*f[now][1][c]%mod*g[c]%mod+mod)%mod;
    }
    printf("%d",ans);
}